Równania z opóźnieniem i metody asymptotyczne w biomatematyce 1000-1M25ROA
W trakcie wykładu zajmiemy się następującymi zagadnieniami.
- Równania różniczkowe zwyczajne z opóźnieniem dyskretnym (tzn. z prawej strony równania występują zmienne zależące nie tylko od bieżącej chwili , ale także od jednej, wyróżnionej chwili w przeszłości , gdzie jest pewną stałą). Na prostych przykładach zilustrujemy wpływ, jaki może mieć opóźnienie na zachowanie rozwiązań równań różniczkowych. Udowodnimy twierdzenia, analogiczne do tych dla RRZ, dotyczące istnienia, jednoznaczności rozwiązań, przedłużalności, stabilności punktów stacjonarnych i występowania bifurkacji Hopfa. Zwrócimy uwagę na różnice między równaniami zwyczajnymi a równaniami z opóźnieniem. Podamy kryteria badania stabilności punktów stacjonarnych. Powyższe zagadnienia zilustrujemy na przykładzie modeli: logistycznego z opóźnieniem, chorób o dynamice okresowej, regulacji procesu krwiotwórczego, dynamiki populacji wielorybów, dynamiki HIV, ewentualnie innych modeli zjawisk biomedycznych.
- Metody asymptotyczne. Niejednokrotnie nie umiemy znaleźć dokładnego rozwiązania równania różniczkowego bądź układu równań różniczkowych. Bardzo często interesuje nas zachowanie rozwiązań takiego równania w okolicy pewnego punktu (np. interesuje nas szybkość zbieżności rozwiązania do punktu stacjonarnego, zachowanie rozwiązań w pobliżu cyklu granicznego). Dzięki metodom asymptotycznym możemy znaleźć przybliżone rozwiązanie i zobaczyć, jak wygląda rozwiązanie bez użycia komputera. W ten sposób możemy także odkryć parametry, które mają decydujący wpływ na konkretne zachowania rozwiązania równania. Tę tematykę zilustrujemy na przykładzie modeli reakcji biochemicznych: reakcji Biełousowa-Żabotyńskiego, reakcji aktywator-inhibitor, układu Michaelisa-Menten, układów słabosprzężonych oscylatorów.
Planujemy 10 godzin zajęć w laboratorium komputerowym, w ramach których nauczymy się rozwiązywania równań z opóźnieniem. Będziemy korzystali albo z środowiska Julia, albo używali Pythona.
Rodzaj przedmiotu
Tryb prowadzenia
Założenia (opisowo)
Koordynatorzy przedmiotu
Kryteria oceniania
Na podstawie projektu oraz egzaminu ustnego w oparciu o przedstawione rozwiązanie
Literatura
C.M. Bender, S.A. Orszag, Advanced Methods for Scientists and Engeineers I, New York-Berlin-Heidleberg, Springer-Verlag 1999;
M. Bodnar, M.J. Piotrowska, O równaniach różniczkowych z opóźnieniem - teoria i zastosowania, Matematyka Stosowana 11(52) 2010;
U. Foryś, Matematyka w biologii, Warszawa, WNT 2005;
J. Hale, Theory of functional differential equations, New York, Springer-Verlag 1997;
T. Holmes, Introduction to Perturbation Methods, Springer 2010;
Y. Kuang, Delay differential equations with application in population dynamics, Boston, Academic Press 1993;
J.D. Murray, Assymptotic methods, Clarendon Press, Oxford 1974;
J.D. Murray, Wprowadzenie do biomatematyki, Warszawa, PWN 2006;
H. Smith, An Introduction to Delay Differential Equations with Applications to the Life Sciences, Springer 2010.
Więcej informacji
Więcej informacji o poziomie przedmiotu, roku studiów (i/lub semestrze) w którym się odbywa, o rodzaju i liczbie godzin zajęć - szukaj w planach studiów odpowiednich programów. Ten przedmiot jest związany z programami:
Dodatkowe informacje (np. o kalendarzu rejestracji, prowadzących zajęcia, lokalizacji i terminach zajęć) mogą być dostępne w serwisie USOSweb: