Metody topologiczne i wariacyjne w nieliniowych równaniach cząstkowych 1000-1M25MTW
1. Przestrzenie Sobolewa - wprowadzenie. Słabe rozwiązania i funkcjonał wariacyjny.
2. Twierdzenie o przełęczy górskiej:
a. lemat deformacyjny i lemat o przełęczy górskiej,
b. zastosowanie do nieliniowego problemu eliptycznego,
c. symetrie i ich wpływ na zwartość,
d. nierówność Sobolewa, nieliniowości o wzroście krytycznym.
3. Geometria zapętleń:
a. zasada Ekelanda i ogólny lemat deformacyjny,
b. twierdzenie Rabinowitza o punktach siodłowych,
c. zastosowanie do nieliniowego problemu eliptycznego,
d. lokalizowanie punktów krytycznych,
e. nieliniowości o wzroście krytycznym.
4. Twierdzenie o fontannie:
a. deformacje współzmiennicze,
b. wielokrotność punktów krytycznych,
c. nieliniowości wklęsłe i wypukłe, nieliniowości o wzroście krytycznym.
Rodzaj przedmiotu
Tryb prowadzenia
Założenia (opisowo)
Koordynatorzy przedmiotu
Efekty kształcenia
1. Zna pojęcie przestrzeni Sobolewa H^1, słabej pochodnej i podstawowe ich własności, pojęcie wariacyjnego funkcjonału energii oraz słabych rozwiązań.
2. Zna i potrafi zastosować twierdzenie o przełęczy górskiej do wykazania istnienia punktu krytycznego w sytuacji dodatnio określonej.
3. Zna i potrafi zastosować twierdzenie o punktach siodłowych Rabinowitza do wykazania istnienia punktu krytycznego w sytuacji nieokreślonej.
4. Zna i potrafi wykazać twierdzenie o górskiej przełęczy oraz twierdzenie o geometrii zapętleń.
5. Zna i rozumie znaczenie symetrii (działania grupy) na przestrzeni oraz jej wpływ na zwartość ciągów minimalizujących.
6. Potrafi wykorzystać twierdzenie o fontannie oraz odpowiednie wersje lematu deformacyjnego do wykazania wielokrotności punktów krytycznych.
Kryteria oceniania
Egzamin pisemny.
Literatura
M. Willem: Minimax theorems, Birkhäuser 1997
M. Struwe: Variational methods, Springer-Verlag 2008
M. Badiale, E. Serra: Semilinear Elliptic Equations for Beginners, Springer-Verlag 2011
Więcej informacji
Więcej informacji o poziomie przedmiotu, roku studiów (i/lub semestrze) w którym się odbywa, o rodzaju i liczbie godzin zajęć - szukaj w planach studiów odpowiednich programów. Ten przedmiot jest związany z programami:
Dodatkowe informacje (np. o kalendarzu rejestracji, prowadzących zajęcia, lokalizacji i terminach zajęć) mogą być dostępne w serwisie USOSweb: