Inequalities and Function Spaces 1000-1M25IFS
Omówimy nierówności izoperymetryczne dla miary Lebesgue'a, miary gaussowskiej i miary jednostajnej na sferze euklidesowej.
Zaprezentowany dowód klasycznej izoperymetrii opiera się na
wykorzystaniu nierówności Brunna-Minkowskiego, która z kolei została wyprowadzona za pomocą techniki Hadwigera-Ohmanna. W dowodzie nierówności izoperymetrycznej dla miary jednostajnej na sferze stosuje się technikę symetryzacji funkcji, podczas gdy argumentacja dla miary Gaussa opiera się na teorii półgrupy Ornsteina-Uhlenbecka.
Zaprezentujemy podstawowe własności przestrzeni BV funkcji o wahaniu ograniczonym oraz omówimy ich związek z problemem izoperymetrycznym.
Udowodnimy również nierówność izoperymetryczną metodą ABP oraz wywnioskujemy z niej nierówność typu Sobolewa.
Zdefiniujemy przestrzenie Orlicza i wprowadzimy przydatną w ich
analizie operację przestawienia (rearrangement). Po omówieniu ich
podstawowych własności, zastosujemy je w dowodzie nierówności
Polya-Szego. Finalnie pokażemy nierówność Orlicza-Sobolewa.
Koordynatorzy przedmiotu
Rodzaj przedmiotu
Efekty uczenia się
Uczestnik
Zna znaczenie nierówności izoperymetrycznych i nierówności Sobolewa.
Rozumie zalety i ograniczenia pracy w przestrzeniach funkcji ograniczonym wahaniu oraz przestrzeniach Orlicza. Rozumie narzędzia stosowane w dowodach nierówności funkcyjnych.
Umie zreferować wyniki badań i wziąć udział w dyskusji na ich
temat.
Kryteria oceniania
Uczestnik przedmiotu zobowiązany jest przygotować i wygłosić
prezentacje i aktywnie uczestniczyć w dyskusjach.
Literatura
[1] A. Baerstein, B.A. Taylor, Spherical rearrangements, subharmonic
functions and ∗-functions in n-space, Duke Math J. 43 (1976),
245--268.
[2] R. J. Gardner, The Brunn-Minkowski inequality, Bulletin of the
American Mathematical Society 39 (3) (2002), 355--405.
[3] H. Hadwiger, D. Ohmann, Brunn-Minkowskischer Satz und
Isoperimetrie, Mathematische Zeitschrift 66 (1) (1956), 1--8.
[4] M. Ledoux, A short proof of the Gaussian isoperimetric inequality,
Progress in Probability 43 (1998), 229--232.
[5] E. Giusti. Minimal Surfaces and Functions of Bounded Variation.
Birkhäuser Boston, 1984.
[6] L. C. Evans, R. F. Gariepy. Measure Theory and Fine Properties of Functions. CRC Press, 1992.
[7] L. Ambrosio, N. Fusco, D. Pallara. Functions of Bounded Variation and Free Discontinuity Problems. Clarendon Press, Oxford, 2000.
[8] X. Cabré. Elliptic PDE's in probability and geometry: Symmetry and regularity of solutions. Discrete and Continuous Dynamical Systems, 2008 (20), pp. 425-457.
[9] G. Talenti. Elliptic equations and rearrangements, Ann. Scuola
Norm. Sup. Pisa Cl. Sci. (4) 3 (1976), no. 4, 697–718.
[10] A. Cianchi. On some aspects of the theory of Orlicz-Sobolev
spaces, Int. Math. Ser. (N. Y.), 11 Springer, New York, 2010.