Geometria wypukła i teoria Brunna-Minkowskiego 1000-1M25GWBM
1. Zbiory wypukłe w ����ⁿ.
a) Opis przez kombinacje wypukłe oraz jako przecięcie rodziny półprzestrzeni
b) Ciało polarne
c) Twierdzenie Carathéodory'ego, Helly'ego i Radona
d) Własności topologiczne: relatywne wnętrze i brzeg
e) Twierdzenia o oddzielaniu
f) Punkty ekstremalne i eksponowane
2. Funkcje wypukłe.
a) Epigraf
b) Sprzężenie wypukłe
c) Operacje na funkcjach wypukłych (np. inf-splot)
d) Regularność i istnienie jednostronnych pochodnych kierunkowych
e) Funkcja wspierająca (support function) i jej sprzężenie
3. Przestrzeń zbiorów wypukłych
a) Metryka na zbiorach wypukłych
b) Twierdzenie Blaschke
c) Aproksymacja wielościanami
4. Teoria Brunna-Minkowskiego
a) Objętość i miara powierzchniowa
b) Mieszane objętości (mixed-volumes)
c) Quermassintegral i miary krzywiznowe
d) Formuła Steinera
e) Twierdzenie i nierówności Brunna-Minkowskiego
f) Nierówność izoperymetryczna
g) Nierówność Aleksandrowa-Fenchela
h) Wielościany silnie izomorficzne
i) Twierdzenie Minkowskiego o istnieniu ciała wypukłego o zadanej mierze powierzchniowej
Jeśli czas pozwoli omówimy także dowód twierdzenie Aleksandrowa o charakteryzacji sfery.
Kierunek podstawowy MISMaP
Rodzaj przedmiotu
Tryb prowadzenia
Wymagania (lista przedmiotów)
Założenia (lista przedmiotów)
Założenia (opisowo)
Koordynatorzy przedmiotu
Efekty kształcenia
Znajomość podstawowych pojęć i twierdzeń geometrii wypukłej i teorii Brunna-Minkowskiego.
Kryteria oceniania
Egzamin ustny z teorii.
Obecność i aktywność na ćwiczeniach może działać dodatnio na ocenę końcową.
Literatura
[1] Daniel Hug, Wolfgang Weil, „Lectures on convex geometry", Springer, 2020
[2] Rolf Schneider, „Convex bodies: the Brunn-Minkowski theory", Cambridge University Press, 2014
[3] H. Federer, „Curvature measures", Trans. Amer. Math. Soc. , Vol. 93, 1959
[4] Tyrrell Rockafellar, „Convex analysis", Princeton University Press, 1970
[5] Matias Delgadino, Francesco Maggi, „Alexandrov's theorem revisited", Analysis & PDE , Vol. 12, No. 6, 2019
Więcej informacji
Więcej informacji o poziomie przedmiotu, roku studiów (i/lub semestrze) w którym się odbywa, o rodzaju i liczbie godzin zajęć - szukaj w planach studiów odpowiednich programów. Ten przedmiot jest związany z programami:
Dodatkowe informacje (np. o kalendarzu rejestracji, prowadzących zajęcia, lokalizacji i terminach zajęć) mogą być dostępne w serwisie USOSweb: