Fraktale 1000-1M25FR

Wykład będzie dotyczył fraktali, czyli zbiorów, których struktura geometryczna jest skomplikowana w dowolnie małej skali. Obiekty o takiej strukturze pojawiają się w naturalny sposób w wielu dziedzinach matematyki, np. w topologii (zbiory Cantora), analizie (wykresy funkcji typu Weierstrassa), układach dynamicznych (tzw. "dziwne atraktory" w teorii chaosu) czy rachunku prawdopodobieństwa (rozkłady szeregów losowych, np. sploty Bernoulliego). Skupimy się głównie na klasie zbiorów fraktalnych posiadających bezpośrednią formę samopodobieństwa (w których cały zbiór jest złożony z mniejszych kopii samego siebie), czyli atraktorów iterowanych układów funkcyjnych (IFS). Pomimo prostej konstrukcji, badania nad ich podstawowymi własnościami geometrycznymi trwają od kilku dekad, a wiele problemów pozostaje otwartych. Języka i podstawowych narzędzi do ich badania dostarczy nam geometryczna teoria miary, której niezbędne elementy zostaną przedstawione na wykładzie. Wychodząc od elementarnych przykładów dojdziemy do klasycznych wyników oraz nowoczesnych metod dziedziny.

Zakres tematyczny:
- Wstęp. Przykłady fraktali.
- Iterowane układy funkcyjne (IFS). Twierdzenie Hutchinsona (istnienie i jedyność atraktora). Rzut naturalny z przestrzeni symbolicznej.
- Elementy geometrycznej teorii miary i teorii wymiaru. Miara i wymiar Hausdorffa. Wymiar pudełkowy. Lemat Frostmana. Absolutna ciągłość i wymiary miar.
- Zbiory i miary samopodobne. Podstawowe własności. Wzór na wymiar przy warunkach rozdzielnia (Strong Separation / Open Set Condition).
- Zbiory samopodobne przy braku rozdzielania. Rodzina {0,1,3} i sploty Bernoulliego. Hipoteza "Exact Overlap".
- Konforemne układy IFS. Elementy teorii ergodycznej: entropia i twierdzenia ergodyczne oraz formalizm termodynamiczny.
- Transwersalność 1. Twierdzenie Marstranda o rzutach ortogonalnych. Metoda potencjału.
- Transwersalność 2. Twierdzenie o rzutach naturalnych dla IFS
- Transwersalność 3. Sprawdzanie warunku transwersalności dla układów IFS i zastosowania.
- Metody kombinatoryki addytywnej. Twierdzenie odwrotne dla entropii i jego konsekwencje (twierdzenie Hochmana o wykładniczym rozdzielaniu).
- Afiniczne układy IFS.