Algebra różniczkowa 1000-1M25AR

1) Wykład zaczyna się od wprowadzenia podstawowego formalizmu algebry różniczkowej, czyli operatorów różniczkowych na pierścieniach przemiennych i omówieniu ich podstawowych własności.
Dalej, interesuje nas struktura ideałów różniczkowych, w tym różniczkowych odpowiedników ideałów maksymalnych i pierwszych. Generowanie ideałów różniczkowych przez zbiory charakterystyczne (lemat Rosenfelda).
2) Różniczkowania w charaterystyce dodatniej, czyli różniczkowania Hassego-Schmidta, różniczkowania Frobeniusa, różniczkowania iteratywne. Do tego pojęcia takie jak p-bazy, rozszerzenia 0-etalne, liniowa rozłączność. Analiza podciała stałych oraz kilka twierdzeń o całkowalności (czyli rozszerzaniu) iteratywnych różniczkowań Hassego-Schmidta.
3) Krótkie wprowadzenie podstawowych pojęć z teorii modeli. Omówienie teorii DCF - Differentially Closed Fields w charakterystyce zero. Potem pobieżne przedstawienie innych teorii ciał różniczkowych, w DCF w charakterystyce dodatniej oraz SCF - Separably Closed Fields.
3a) W zależności od zaangażowania studentów, opisanie głównych idei z dowodu uogólnionej hipotezy Mordella-Langa (dowód Hrushovskiego z teorii modeli ciał różniczkowych).
4) Różniczkowa teoria Galois - różniczkowe grupy Galois, rozszerzenia Piccarda-Vessiota, teoria Galois liniowych równań różniczkowych oraz omówienie odpowiedniości Galois dla grup algebraicznych (zamiast proskończonych jak w teorii ciał).
4a) W zależności od zaangażowania studentów, Twierdzenie o Elementarnej Równoważności dla ciał różniczkowych i konsekwencje dla grup symetrii.