Wybrane zagadnienia teorii spektralnej w przestrzeniach Hilberta 1000-1M24TSH

1. Przypomnienie: własności spektralne operatorów zwartych na przestrzeniach Banacha.

2. Miary spektralne i rozkład jedności; twierdzenie spektralne dla operatorów normalnych na przestrzeniach Hilberta; rachunek funkcyjny; operatory dodatnie i unitarne; rozkład polarny.

3. Teoria operatorów nieograniczonych. Domykalność, sprzężenie, widmo. Twierdzenie spektralne.

4. Zastosowania I: operator Laplace'a. Związki między widmem operatora a geometrią przestrzeni.

5. Zastosowania II: mechanika kwantowa. Zasada nieoznaczoności, oscylator harmoniczny.

6. Zastosowania III: nieprzemienna probabilistyka. Algebra operatorów jako przestrzeń zmiennych losowych, widmo operatora jako uogólnienie rozkładu. Prawa wielkich liczb i centralne twierdzenie graniczne w wersji nieprzemiennej.