Geometryczny kobordyzm i grupy formalne 1000-1M21GKG
1.Problem klasyfikacji rozmaitości. Relacja bordyzmu rozmaitości zwartych. Pierścień klas bordyzmu.
2.ABC topologii różniczkowej - transwersalność. Pierścień (ko-)bordyzmu.
3.Uogólnione teorie (ko-)homologii.
4.Rozszerzenie konstrukcji pierścienia (ko-)borydzmu do multyplikatywnej teorii (ko-)homologii wyposażonej w „Umkehr Homomorphismus” - podejście geometryczne. Uniwersalność teorii kobordyzmu.
5.Związki z teorią homotopii - konstrukcja Pontriagina-Thoma.
6.Orientowalność wiązek w uogólnionych teoriach kohomologii. Zasada rozszczepiania.
7.Klasy charakterystyczne Stiefela-Whitneya i Cherna w uogólnionych teoriach kohmologii. Grupa formalna teorii kohomologii.
8.ABC teorii grup formalnych z algebraicznego punktu widzenia. Logarytm grupy formalnej. Uniwersalna grupa formalna.
9.Operacje kohomologiczne w teorii kobordyzmu.
10.Identyfikacja pierścienia (ko-)bordyzmu jako pierścienia uniwersalnej grupy formalnej.
11.Generatory pierścienia (ko-)bordyzmu.
Rodzaj przedmiotu
Tryb prowadzenia
Założenia (opisowo)
Efekty kształcenia
1. Zrozumienie problemu klasyfikacji rozmaitości ze względu na różne relacje, szczególnie bordyzmu.
2. Oswojenie z różnymi teriami homologii i kohomologii, w szczególności teorią bordyzmu i kobordyzmu oraz świadomość bogactwa struktur algebraicznych w różnych teoriach.
3. Obliczanie klas charakterystycznych wiązek wektorowych.
4. Zrozumienie pojęcia grupy formalnej i jego związków z klasycznymi lokalnymi grupami Lie.
5. Wskazanie generatorów pierścienia bordyzmu.
6. Precyzyjne i jasne formułowanie w mowie piśmie rozumowań matematycznych.
Kryteria oceniania
Egzamin ustny oparty na pisemnym eseju na zadany temat.
Literatura
J.F. Adams "Quillen's work on formal groups and complex cobordism"
A. Bojanowska, S. Jackowski "Geometric bordism and cobordism"
Th. Broecker, T. tom Dieck "Kobordismentheorie" Lecture Notes in Math. 178, Springer 1970
P.E. Conner, E.E. Floyd "Differentiable Periodic Maps" Springer 1964
D.Quillen "Elementary proofs of some results of cobordism theory using Steenrod operations" Advances in Mathematics 7, str.29-56, (1971)
H. Miller "Notes on cobordism". Lecture Notes MIT
D. Ravenel "Quillen's work on formal groups and complex cobordism" 2012
R. Stong "Notes on cobordism theory" Princeton UP 1968
Literatura uzupełniająca
G.E. Bredon "Topology and Geometry"
Th. Broecker, K. Jaenich "Introduction to differential topology"
M. Hirsch "Differential topology"
M.J. Hopkins "Global methods in homotopy theory" In:e Homotopy Theory London Math. Soc. Lect. Note Series 117 (1987), 73-96
M.J. Hopkins "Algebraic Topology and Modular Forms" ICM 2002
J. Milnor"Topologia z różniczkowego punktu widzenia"
J. Milnor "Lectures on h-cobordism"
Więcej informacji
Więcej informacji o poziomie przedmiotu, roku studiów (i/lub semestrze) w którym się odbywa, o rodzaju i liczbie godzin zajęć - szukaj w planach studiów odpowiednich programów. Ten przedmiot jest związany z programami:
Dodatkowe informacje (np. o kalendarzu rejestracji, prowadzących zajęcia, lokalizacji i terminach zajęć) mogą być dostępne w serwisie USOSweb: