Wstęp do geometrii niearchimedesowej 1000-1M20WGN

Geometria niearchimedesowa lub geometria sztywna (rigid-analytic geometry) jest wersją zespolonej geometrii analitycznej nad ciałami niearchimedesowymi, takimi jak ciało liczb p-adycznych Q_p lub ciało formalnych szeregów Laurenta k((t)). Została ona wprowadzona i sformalizowana przez Tate'a w latach 60-tych, co posłużyło zrozumieniu krzywych eliptycznych nad ciałem p-adycznym za pomocą uniformizacji analogicznej do znanego opisu krzywej eliptycznej nad C jako ilorazu płaszczyzny zespolonej przez kratę. Od tego czasu zyskała ona status istotnego narzędzia w geometrii algebraicznej i arytmetycznej, znaleziono też kilka innych podejść do niej dzięki wynikom Raynauda, Berkovicha oraz Hubera. W ostatnich latach stała się ona bardziej widoczna dzięki pracy Scholzego i Kedlayi w p-adycznej teorii Hodge'a oraz niearchimedesowemu podejściu do symetrii lustrzanej zaproponowanym przez Kontsevicha. Mimo tego, nadal nie wiemy zbyt wiele na temat rozmaitości niearchimedesowych, a wiele podstawowych pytań pozostaje nierozstrzygniętych.

Celem wykładu jest wprowadzenie podstawowych pojęć geometrii niearchimedesowej. Będziemy zakładali znajomość podstaw teorii schematów.

Wstępny plan wykładu:

I. Motywacja i wprowadzenie; topologia liczb p-adycznych; pierścienie waluacji
II. Pierścienie topologiczne i adyczne
III. Schematy formalne
IV. Algebry Tate'a
V. Przestrzenie G-upierścienione i topologia dopuszczalna
VI. Rozmaitości niearchimedesowe
VII. Przykłady rozmaitości niearchimedesowych. Krzywa Tate'a
VIII. Podejście Raynauda
IX. Zastosowania

Zagadnienia dodatkowe:
a. Teoria przestrzeni adycznych Hubera
b. Przestrzenie Berkovicha
c. Przestrzenie Riemanna-Zariskiego
d. Twierdzenie Nagaty o uzwarceniu