Miara harmoniczna 1000-1M13MH

Tytuł wykładu powinien właściwie brzmieć:
Miara Harmoniczna, Geometryczna Teoria Funkcji i Teoria Potencjału.

Klasyczną miarę harmoniczną zbioru A zawartego w brzegu obszaru
U w R^2, widzianą z punktu xin U można zdefiniować (na jeden z wielu
równoważnych sposobów) jako prawdopodobieństwo tego że ruch
Browna, "wypuszczony" z punktu x, opuści obszar U przez zbiór A.

Badanie struktury miary harmonicznej prowadzi do ważnych i bardzo ciekawych zagadnień w Analizie Zespolonej i Geometryczej Teorii Funkcji. W ostatnich 20 latach dokonał sie wielki postęp, ale wciaż pozostaje wiele otwartych pytań.
Jednym z ważnych narzędzi są tu konforemne układy dynamiczne.

PLAN WYKŁADU

1. część wstępna

Obszary Jordana i obszary jednospójne w $mathbb{C}$.
Przekształcenie Riemanna i tw Caratheodory'ego.
Podstawowe twierdzenia o dystorsji. Metryka hiperboliczna.

Funkcja Greena, zagadnienie Dirichleta.

Potencjał logarytmiczny, funkcje subharmoniczne, pojemność logarytmiczna. Rozkład równowagowy.

Długość ekstremalna rodziny krzywych, związek z miarą harmoniczną (oszacowania Beurlinga).

2. Część bardziej zaawansowana

Miara harmoniczna w obszarach jednospójnych. Twierdzenie Rieszow. Punkty osiągalne. Hipoteza Oksendala o singularności względem każdej miary Hausdorffa o wykładniku $>1$. Dowód hipotezy Oksendala (N. Makarov).

Funkcje Blocha i ich związek z teorią przekształceń konforemnych. Problem $beta$ spektrum, hipoteza Brennana. Częściowe wyniki.

3. część (jeszcze) bardziej zaawansowana

Martyngał związany z funkcją Blocha, prawo iterowanego logarytmu dla (tego martyngału i) dla funkcji Blocha. Wnioski geometryczne-twierdzenie Makarowa.

Miara harmoniczna na obszarach niejednospójnych: twierdzenia P.Jonesa i T. Wolffa.

Miara harmoniczna w układach dynamicznych. Zastosowania metod układów dynamicznych. Przegląd wyników "warszawskich".

Miara harmoniczna w wymiarze >2. Zagadnienie wymiaru miary harmonicznej . Wynik Bourgaina i jego
możliwe uogólnienia (zastosowania).

Otwarte pytania i próby odpowiedzi.