Dystrybucje w równaniach różniczkowych cząstkowych 1000-1M12DRC

Dystrybucje, czyli funkcjonały liniowe, ciągłe, określone na przestrzeniach 'funkcji próbnych', mogą być postrzegane jako funkcje uogólnione. Rzeczywiście, okazuje się, że przy odpowiednio wąskiej klasie funkcji próbnych, klasa funkcjonałów, a więc przestrzeń sprzężona, jest bardzo szeroka. W dodatku można w tej klasie określić wiele operacji, jak różniczkowanie, splot, iloczyn tensorowy, transformatę Fouriera czy mnożenie przez funkcje, a dystrybucje są różniczkowalne nieskończenie wiele razy. Zatem dostajemy wygodne narzędzie do analizy uogólnionych rozwiązań równań różniczkowych cząstkowych, czyli rozwiązań w klasie dystrybucji. Możemy zdefiniować rozwiązanie podstawowe dla operatora różniczkowego D jako taką dystrybucję E, że D(E) = δ (delta Diraca), szukać rozwiązania podstawowego stosując transformatę Fouriera, a przy pomocy splotu określić rozwiązanie równania niejednorodnego.

Wykład obejmie następujące zagadnienia: przestrzeń funkcji próbnych D, przestrzeń dystrybucji D', dystrybucje regularne i singularne, działania na dystrybucjach: mnożenie przez funkcję, różniczkowanie, zbieżność, nośnik dystrybucji, splot dystrybucji, iloczyn tensorowy, rozwiązania podstawowe równań różniczkowych, twierdzenie Malgrange-Ehrenpreis'a, przestrzeń Schwartza, dystrybucje temperowane, transformata Fouriera i odwrotna transformata Fouriera, zastosowania w równaniach cząstkowych.