Zanurzenia topologiczne w rozmaitości i teoria położenia 1000-1M10ZTP

Kluczowym problemem jest charakteryzacja takich zanurzeń, które są równoważne z zanurzeniami kawałkami liniowym (zanurzenia swojskie). Opiszemy klasyczne przykłady zanurzeń, które takimi nie są (dzikie zanurzenia).
Pokażemy, że własności homotopijne (lokalne własności homotopijne) dopełnienia zbioru M \ f(X) mają bardzo istotny wpływ na własności zanurzenia f (w szczególności na to czy jest swojskie lub czy zanurzenia są równoważne).
Do ważniejszych metod stosowanych w tego typu rozważaniach należą techniki związane z twierdzeniami o pochłanianiu. Chodzi z grubsza rzecz biorąc o to, że sytuację gdy U jest otwartym podzbiorem rozmaitości M i X jest podwielościanem M, przy spełnieniu pewnych warunków homotopijnych (o charakterze globalnym w przypadku twierdzenia o pochłanianiu Stallingsa lub lokalnym dla twierdzenia Bryanta-Seebecka) można sprowadzić do przypadku, gdy X jest podzbiorem U.
Jako bardzo prosty wniosek z twierdzenia Stallingsa otrzymamy między innymi słabą wersję Hipotezy Poincare (każda kawałkami liniowa zamknięta rozmaitość M wymiaru n nie mniejszego niż 5, homotopijnie równoważna ze sferą jest homeomorficzna ze sferą) i tzw. słabe twierdznie o h-kobordyzmie. Korzystając z twierdzeń o pochłanianiu otrzymuje się także szereg faktów dotyczących zanurzeń; w szczególności to, że zamkniętą r-spójną rozmaitość daje się zanurzyć w przestrzeń euklidesową wymiaru 2n-r. Kilkakrotnie w trakcie wykładu korzystać będziemy (np. w dowodzie słabej wersji Hipotezy Poincare) z twierdzenia, które mówi, że rozmaitość topologiczna będąca sumą dwóch podzbiorów otwartych homeomorficznych z przestrzenią euklidesową jest homeomorficzna ze sferą. Jest to wniosek z tzw. uogólnionego Twierdzenia Schoenfliesa podającego warunki konieczne i dostateczne na to by topologiczna sfera wymiaru n była tak samo położona w sferze wymiaru (n+1) jak jej równik (inaczej zanurzenie sfery n-wymiarowej w sferę (n+1)- wymiarową jest równoważne ze standardowym włożeniem na równik) .
Pojęcia i rozumowania zastosowane w dowodzie uogólnionego Twierdzenia Schoenfliesa zasługują na wyodrębnienie i bardziej szczegółowe omówienie. Okazuje się, że mają bardzo uniwersalny charakter i liczne zastosowania (problem charakteryzacji rozmaitości topologicznych, badanie kiedy dopełnienia zwartych podzbiorów przestrzeni euklidesowej lub rozmaitości są homeomorficzne).