Analiza harmoniczna 1000-1M10AH
Poniższa lista zawiera spis zagadnień, które będą poruszane na wykładzie, lecz dokładny dobór materiału zależał będzie od preferencji oraz przygotowania uczestników.
1. Wprowadzenie historyczne. Algebra funkcji całkowalnych na okręgu.
Współczynniki Fouriera.
2. Lemat Riemanna-Lebesgue'a. Jądra aproksymatywne (Fejera, Poissona)
oraz wnioski o sumowalności średnich Fejera i Poissona w języku
jednorodnych przestrzeni Banacha. Twierdzenia Weierstrassa o
aproksymacji wielomianami trygonometrycznymi.
3. Zagadnienie zbieżności średnich Fejera i Poissona prawie wszędzie
(twierdzenia Fejera, Lebesgue'a i Fatou).
4. Rząd zbieżności współczynników Fouriera w zależności od własności funkcji.
5. Szeregi Fouriera funkcji całkowalnych z kwadratem (twierdzenia
Riesza-Fischera, Parsevala, Plancherela).
6. Algebra absolutnie zbieżnych szeregów Fouriera.
7. Zbieżność punktowa szeregów Fouriera (kryteria Lipschitza, Diniego
i podobne)
8. Wyniki negatywne - przykład Kołmogorowa, istnienie funkcji ciągłych
o tu i ówdzie rozbieżnym szeregu Fouriera.
9. Przestrzenie Hardy'ego. Funkcja sprzężona.
10. Twierdzenia Kołmogorowa (o słabym typie) i Zygmunda. Transformata
Riesza i Hilberta oraz wniosek o zbieżności szeregów Fouriera w Lp dla
p>1.
11. Nierówność Hilberta, twierdzenie Hardy'ego-Littlewooda,
twierdzenie Braci Rieszów (o miarach analitycznych).
12. Teoria Calderona-Zygmunda.
13. Wstęp do operatorów mnożnikowych. Twierdzenie Hormandera-Michlina.
14. Twierdzenie McGehee-Pigno-Smith + Konyagin (rozwiązanie hipotezy
Littlewooda).
15. Podstawowe informacje o współczynnikach Fouriera-Stieltjesa miary.
Ciągi dodatnio określone. Twierdzenie Herglotza.
16. Miary idempotentne i twierdzenie Helsona.
Rodzaj przedmiotu
Efekty kształcenia
Student po odbyciu kursu "analiza harmoniczna":
1. Zna i rozumie podstawowe pojęcia teorii szeregów Fouriera.
2. Potrafi zastosować wiedzę o rozwinięciach w szeregi Fouriera do wykazania klasycznych wyników analizy.
3. Rozumie, dlaczego problem sumowalności szeregów Fouriera jest istotnie łatwiejszy niż problem ich zbieżności.
4. Jest w stanie za pomocą twierdzeń analizy funkcjonalnej wykazać istnienie funkcji ciągłych o rozbieżnym w pewnym punkcie szeregu Fouriera.
5. Umie wskazać jak odpowiednie warunki gładkości wpływają na współczynniki Fouriera.
6. Zna podstawowy język abstrakcyjnej analizy harmonicznej (np. operatory mnożnikowe i słabego typu) oraz potrafi podać przykład jej zastosowania do klasycznych problemów zbieżności szeregów Fouriera.
7. Rozumie różnice pomiędzy analizą harmoniczną w przypadku miar i w przypadku funkcji.
Kryteria oceniania
Na koniec semestru przewidziany jest egzamin pisemny, którego wynik wraz z aktywnością na ćwiczeniach będzie podstawą do zaproponowania oceny. Osoby zainteresowane jej poprawą zostaną zaproszone na egzamin ustny.
Najaktywniejsze osoby na ćwiczeniach mogą zostać zwolnione z egzaminu z oceną bardzo dobrą.
Literatura
- W. Rudin, Fourier Analysis on Groups
- A. Zygmund, Trigonometric Series
- C.C. Graham, O. C. McGehee, Essays in Commutative Harmonic Analysis
- E. M. Stein and G. Weiss, Introduction to Fourier Analysis in Euclidean Spaces
- Y. Katznelson, An Introduction to Harmonic Analysis
- R. E. Edwards, Fourier Series, a Modern Introduction
- E. Hewitt and K. A. Ross, Abstract Harmonic Analysis
- E. M. Stein and R. Shakarchi, Fourier Analysis, an Introduction
- H. Helson, Harmonic Analysis
- T. W. Korner, Fourier Analysis
- A. Torchinsky, Real Variable Methods in Harmonic Analysis
Więcej informacji
Więcej informacji o poziomie przedmiotu, roku studiów (i/lub semestrze) w którym się odbywa, o rodzaju i liczbie godzin zajęć - szukaj w planach studiów odpowiednich programów. Ten przedmiot jest związany z programami:
Dodatkowe informacje (np. o kalendarzu rejestracji, prowadzących zajęcia, lokalizacji i terminach zajęć) mogą być dostępne w serwisie USOSweb: