Analiza Fouriera 1000-1M10AF

Współczesna analiza matematyczna wymaga głębokiego spojrzenia na własności funkcji, w szczególności pojęcia takie jak różniczkowanie, całkowanie czy nawet mnożenie daleko odbiegają od swoich klasycznych odpowiedników. Rozwój w tym kierunku został wymuszony przez matematykę stosowaną, reprezentowaną głównie przez równania cząstkowe i metody numeryczne. Wykład swój chciałbym skoncentrować na narzędziach analizy fourierowskiej, przedstawiając spójną teorię wymaganą przez aktualną matematykę.
Głównym punktem wykładu będzie rozkład Paley-Littlewooda, będący rozkładem jedności na poziomie transformaty Fouriera. W naturalny sposób wprowadza to przestrzenie funkcyjne Besova B^s_{p,q} i Triebla F^s_{p,q} -- uogólnienia klasycznych przestrzeni Sobolowa na przestrzenie ułamkowe. Własności takiego spojrzenia powiązane są z osobliwymi operatorami określonymi przez mnożniki fourierowskie. Chodzi tu o twierdzenie Marcinkiewicza uogólniające tożsamość Persevala na przestrzenie L_p. By wykroczyć poza teorie liniowe wymagane jest uogólnienie mnożenia, tj. wprowadzimy pojęcie paraproduktu. Na ćwiczeniach analizowane będą konkretne przykłady jak również rozwiązywać będziemy szczególne zagadnienia z równań cząstkowych związanych z tzw. maksymalną i optymalną regularnością.
Plan wykładu:
1. Podstawowe własności funkcji;
2. Przestrzenie Besova i Triebla, elementy teorii interpolacji
3. Funkcja maksymalna i operatory Zygmunda;
4. Wagi A_p;
5. L_p=F^0_{p,2};
6. Twierdzenia Marcinkiewicza o mnożnikach;
7. Spojrzenia na przypadki graniczne - przestrzenie BMO i Hardy'ego.
8. Paraprodukty i twierdzenia o włożeniu;
9. Zastosowania w równaniach cząstkowych.
Na wykład zapraszam osoby zainteresowane szeroko rozumianą analizą matematyczną. Wykład nie zakłada wiedzy z RRCzI, wymaga znajomości całki Lebesguea oraz elementów analizy funkcjonalnej.