K-teoria 1000-1M09KT

K-teoria jest dziedziną matematyki, której nazwa nawiązuje do metody badawczej, a nie do rozważanych w ramach teorii obiektów matematycznych (takich jak np. grupy, przestrzenie wektorowe, przestrzenie topologiczne). Metoda ta polega z grubsza na tym, że w zbiorze klas równoważności rozważanych obiektów (stąd litera K ) wprowadza się działania dodawania, mnożenia i inne, tworząc w ten sposób pewną strukturę algebraiczną. Własności ustalonego obiektu opisuje się w terminach tejże struktury algebraicznej (np. czy jest odwracalny, dzielnikiem zera itp.)
Autorem tego podejścia był wielki francuski matematyk Alexandre Grothendieck, który w połowie lat 50-tych ubiegłego stulecia zastosował je w przełomowych pracach z geometrii algebraicznej. W kilka lat później inni tytani matematyki XX wieku: Michael Atiyah (GB), Friedrich Hirzebruch (D) i Isadore Singer (USA) przenieśli idee A.Grothendiecka na grunt topologii i teorii operatorów różniczkowych. W połączeniu z udowodnionym wcześniej przez Raoula Botta twierdzeniem o periodyczności, topologiczna K-teoria stała się pierwszym ważnym przykładem tzw. uogólnionej teorii kohomologii. Korzystając z niej J.Frank Adams (GB) wykazał m.in., że sensowne działanie mnożenia można określić w rzeczywistych przestrzeniach wektorowych jedynie w klasycznych przypadkach: wymiar 1 (liczby rzeczywiste), wymiar 2 (liczby zespolone), wymiar 4 (kwaterniony) .
Na przełomie lat 1960/70 John Milnor (USA) i Daniel Quillen (USA) przenieśli idee K-teorii do badania obiektów czysto algebraicznych. D. Quillen pokazał, że konstrukcje, które jak sądzono są immanentnie związane z ciałami liczb rzeczywistych i zespolonych można w istocie wykonywać nad dowolnymi pierścieniami (w szczególności ciałami skończonymi). Metody K-teorii znalazły też zastosowania w analizie funkcjonalnej, a dokładniej w teorii tzw. C*-algebr rozwiniętej przez przez Alain Connesa. Ze względu na analogie z klasyczną geometrią różniczkową, która jest związana z przemienną algebrą funkcji gładkich, teoria Connesa nazywana jest geometrią nieprzemienną.
O wadze idei związanych z K-teorią we współczesnej matematyce dobitnie świadczy lista matematyków, którzy je rozwijali i otrzymali medale Fieldsa. Są to: J.Milnor (1962), A.Grothendieck, M.F.Atiyah (1966), D.Quillen (1978), A.Connes (1982), V.Voevodsky (2002).
Wykład będzie się koncentrował na topologicznej wersji K-teorii, będącej pierwowzorem wielu dalszych uogólnień, które także będą odnotowane. Poniżej lista zagadnień, które zamierzam omówić ? ostateczny wybór i rozkład czasu będzie zależał od przygotowania i zainteresowań uczestników:

Tematy wykładu:
1.Wiązki wektorowe i ich homotopijna klasyfikacja
2.Wiązki jako moduły projektywne nad pierścieniem funkcji ciągłych
3.Funktor K. Przykłady z algebry i geometrii.
4.Półdokładność topologicznego funktora K. Uogólnione teorie kohomologii.
5.Twierdzenie R.Botta o periodyczności.
6.Struktura multyplikatywna w K-teorii.
7.Izomorfizm R. Thoma w topologicznej K-teorii.
8.Operacje J.F. Adamsa w topologicznej K-teorii.
9.Informacja o twierdzeniu o indeksie operatorów eliptycznych.
10.Tw. J.F.Adamsa o liczbie liniowo niezależnych pól wektorowych na sferach.

Założenia wiedzy u uczestników obejmują wykłady kursowe z algebry i topologii, oraz wykład Topologia Algebraiczna I.