Geometryczna teoria miary 1000-1M09GTM

Jednym z podstawowych pytań, jakie podejmuje geometryczna teoria miary, jest opis struktury tych podzbiorów n-wymiarowej przestrzeni euklidesowej, które mają całkowity wymiar Hausdorffa m, 0 < m < n.
Okazuje się, że każdy taki zbiór S jest (z dokładnością do podzbioru m-wymiarowej miary Hausdorffa zero) sumą dwóch części M i Z. Pierwsza z nich, M, tzw. część przeliczalnie prostowalna, zawiera się w sumie
przeliczalnie wielu rozmaitości m-wymiarowych i stanowi ogólny, naturalny przykład czegoś, co każdy uznałby za twór m-wymiarowy. Druga część, Z, jest bardzo dziwna, tzw. całkowicie nieprostowalna: jej rzut
na prawie każdą płaszczyznę m-wymiarową ma w tej płaszczyźnie miarę zero, a jednak Z może mieć m-wymiarową miarę dodatnią.

Dla m=1 i n=2 intuicja jest następująca: zbiory całkowicie nieprostowalne to zbiory, które mają dodatnią długość, ale mimo to nie rzucają cienia na prawie żadną prostą!

Natomiast na zbiorach przeliczalnie prostowalnych można uprawiać analizę. Co więcej, czasem trzeba: w wielu zagadnieniach natury fizycznej i geometrycznej pojawiają się osobliwości rozwiązań, np.
samoprzecięcia (przykład: błony mydlane rozpięte na druciku, który jest szkieletem sześcianu lub czworościanu). Prócz tego geometryczna teoria miary ma liczne, w ostatnich kilkunastu latach intensywnie
badane związki z analizą harmoniczną i teorią funkcji analitycznych.

Planuję, na ile czas pozwoli, omówić następujące zagadnienia:

1. Twierdzenia o pokryciach. Różniczowanie miar i całek.
2. Miara i wymiar Hausdorffa
3. Przekształcenia Lipschitzowskie i ich najważniejsze własności. Wzór na całkowanie po włóknach (co-area).
4. Przeliczalna prostowalność. Twierdzenie strukturalne Besicovitcha - Federera.
5. Zbiory jednostajnie prostowalne wg. Davida i Semmesa.
6. Związki geometrycznej teorii miary z analizą funkcjonalną. Charakteryzacje prostowalności związane z operatorami całkowymi (np. potencjałami Riesza).
7. Krzywizna Mengera, magiczny wzór Mielnikowa i związki geometrycznej teorii miary z teorią funkcji analitycznych.
8. Przykłady zagadnień wariacyjnych, w których pojawiają się zbiory przeliczalnie prostowalne.

Wymagania:

Zakładam solidną znajomość Analizy II.1 i II.2 oraz Funkcji Analitycznych. Szersza znajomość analizy będzie przydatna, ale w gruncie rzeczy nie jest konieczna.