Geometryczna teoria grup 1000-1M09GTG
Geometryczna teoria grup obejmuje takie klasyczne zagadnienia jak: (i)
Problem słów i algorytm Dehna, czyli rozstrzyganie czy słowo reprezentuje
element trywialny na podstawie prezentacji grupy. (ii) Teoria Serre'a,
czyli jak rozkłady grupy, np. w produkt wolny, związane są z działaniami
grupy na drzewach.
Dziedzina zaczęła żyć własnym życiem po publikacji artykułu Gromowa (który
został laureatem nagrody Abela 2009) o niezmiennikach quasi-izometrii,
czyli przekształceń bi-lipszicowskich w dużej skali. Te niezmienniki
prowadzą do "asymptotycznych" właściwości nieskończonych grup skończenie
generowanych. W szczególności w ten sposób można odróżnić grupy wirtualnie
nilpotentne od innych grup.
Obecnie w centrum zainteresowania ludzi zajmujących się geometryczną
teorią grup są tzw. grupy hiperboliczne w sensie Gromova. Te grupy
dopuszczają badanie metodami podobnymi do klasycznych używanych do grup
izometrii płaszczyzny hiperbolicznej. Z drugiej strony okazuje się, że
grupy hiperboliczne w sensie Gromova są niezwykle różnorodne. Właśnie
omawianiu przykładów grup poświęcony jest niniejszy wykład.
Będziemy poruszać następujące zagadnienia.
1. Graf Cayleya. Grupa wolna, podgrupy grupy wolnej.
2. Produkt wolny grup, twierdzenie o jednoznaczności rozkładu w produkt
wolny.
3. Działania grup na drzewach, produkt wolny z amalgamacją.
4. Grupa SL(2,Z). Grupy działające na płaszczyźnie hiperbolicznej. Problem
słów.
5. Grupy małych skreśleń.
6. Grupy losowe.
7. Grupy hiperboliczne w sensie Gromowa.
8. Quasi-izometrie. Niezmienniki asymptotyczne: wzrost, stożek asymptotyczny.
9. Nierówność izoperymetryczna.
10. Końce grup.
11. Brzegi grup hiperbolicznych.
12. Alternatywa Titsa.
13. Twierdzenie Mostowa o sztywności.
14. Hiperboliczne grupy Coxetera, sympleksy grup.
Rodzaj przedmiotu
Literatura
1. T. Elsner, Geometryczna Teoria Grup, lecture notes (2008), available at
http://www.math.uni.wroc.pl/~elsner/.
2. E. Ghys and P. de la Harpe, eds., Sur les groupes hyperboliques d'apres
Mikhael Gromov, Birkhaeuser, Boston, MA, 1990.
3. M. Gromov, Asymptotic invariants of infinite groups, Geometric group
theory, Vol. 2 (Sussex, 1991), London Math. Soc. Lecture Note Ser., vol.
182, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1993, pp. 1.295.
4. R. Lyndon and P. Schupp, Combinatorial Group Theory, Springer, Berlin,
Reprinted 2001.
5. P. Scott and T. Wall, Topological methods in group theory, Homological
Group Theory, London Math. Soc. Lecture Notes Ser. 36 (1979), 137.214.
6. J.-P. Serre, Arbres, amalgames, SL2, Societe Mathematique de France,
Paris, 1977 (French). Avec un sommaire anglais; Redige avec la
collaboration de Hyman Bass; Asterisque, No. 46.
Więcej informacji
Dodatkowe informacje (np. o kalendarzu rejestracji, prowadzących zajęcia, lokalizacji i terminach zajęć) mogą być dostępne w serwisie USOSweb: