Przestrzenie Sobolewa i przestrzenie funkcji o wahaniu ograniczonym 1000-1M08PS

Wykład jest wprowadzeniem do teorii przestrzeni funkcyjnych grających wielka rolę we współczesnej analizie. Reprezentantem poznawanym na podstawowym wykładzie z równań cząstkowych jest przestrzeń funkcji, które są całkowalne z kwadratem i mają pochodne całkowalne z kwadratem. Definicje wspomnianych przestrzeni poprzedzimy zwięzłym wykładem teorii dystrybucji. W oparciu o teorię transformaty Fouriera wprowadzimy wieżę przestrzeni Sobolewa z "ułamkową liczbą pochodnych", indeksowaną parametrem rzeczywistym s. Przedstawimy przykłady ich zastosowań w analizie, a w szczególności w równaniach różniczkowych (np. metoda fazy stacjonarnej, całki oscylacyjne, operator różniczkowy i jego symbol).

W drugiej części wykładu przedstawimy funkcje o wahaniu ograniczony (BV) i specjalne funkcje o wahaniu ograniczonym (SBV). Opowiemy o zbiorach o skończonym obwodzie, tj. o takich których funkcja charakterystyczna ma wahanie skończone. Opowiemy o roli, jaką grają przestrzenie BV w rachunku wariacyjnym: o modelu Mumforda-Shaha segmentacji obrazu, o metodach relaksacji funkcjonałów i metodzie Gamma-zbieżności.

Do uczestnictwa wymagane jest dobre przygotowanie analityczne. Nie jest potrzebna znajomość wykładu RRCzI.