Operatory nieograniczone 1000-1M06ON

PODTYTUŁ: "Nie tylko operatory ograniczone..."
Operator ograniczony (tj. ciągły operator liniowy działający pomiędzy przestrzeniami Banacha) to pojęcie znane tym, którzy przeszli przez kurs analizy funkcjonalnej. Takie operatory pojawiają się przy okazji wielu różnego typu problemów matematycznych; wygodnie się nimi posługiwać (można je np. dodawać, składać). Pozwalają one w elegancki sposób rozwiązać wiele problemów analizy, które bez ich jawnego użycia mogłyby się wydawać znacznie bardziej złożone.
Jednak w wielu sytuacjach pojęcie operatora ograniczonego okazuje się zbyt wąskie. Zarówno w pewnych problemach czysto matematycznych, jak i w licznych zastosowaniach pojawiają się operatory liniowe, które są określone tylko na pewnej podprzestrzeni przestrzeni Banacha (i nie dają się przedłużyć do operatorów ciągłych na całej przestrzeni). Są to właśnie tzw. operatory nieograniczone. Taka sytuacja ma miejsce np. wtedy, gdy próbujemy określić operator zadany pewnym wyrażeniem różniczkowym w typowej przestrzeni Banacha typu np. C(D) czy L_p(D) (D - podzbiór R^n). Można chyba zaryzykować stwierdzenie, że "większość" ważnych operatorów liniowych pojawiających się w zastosowaniach to właśnie operatory nieograniczone.
Wykład ten pomyślany jest jako wstęp do tej części teorii operatorów, w której w naturalny sposób pojawiają się operatory nieograniczone. Moim celem będzie zaznajomienie słuchaczy z pewnymi podstawami, które z jednej strony poszerzą ich wiedzę zdobytą na wykładzie z analizy funkcjonalnej (raczej zbyt skąpą dla celów zastosowań), a z drugiej pokażą możliwe kierunki dalszych, bardziej ukierunkowanych studiów. Po omówieniu podstawowego pojęcia operatora domkniętego zamierzam nieco bliżej przyjrzeć się pewnym szczególnym klasom operatorów, w tym m. in. generatorom C_0 - półgrup oraz nieograniczonym operatorom samosprzężonym w przestrzeniach Hilberta, dla których wprowadzę podstawowe pojęcia analizy spektralnej. Abstrakcyjne rozważania ilustrowane będą licznymi przykładami. Nieco uwagi zamierzam poświęcić przykładom pewnych operatorów różnicowych działających w przestrzeniach ciągowych (typu l_p) i ich zastosowaniom.
Przewiduję, że w trakcie zajęć przedstawię zainteresowanym słuchaczom propozycje ciekawych problemów (zarówno prostych, jak i ambitniejszych) do samodzielnych badań, np. ewentualnych tematów prac magisterskich.

Wymagania od uczestników: Analiza Funkcjonalna I (najlepiej nie tylko zdana, ale też lubiana). Nie jest konieczna Analiza Funkcjonalna II (choć jest mile widziana, nie będę zakładał wiedzy uczestników z jej zakresu).