Teoria kategorii i teoria toposów 1000-1M03TK

Od swojego powstania w 1945 roku Teoria Kategorii znalazła zastosowanie w wielu działach matematyki od Topologii i Geometrii Algebraicznej, aż do Logiki. W moim wykładzie będę kładł nacisk na zastosowania logiczne Teorii Kategorii. Oprócz pewnego ogólnomatematycznego przygotowania, zwłaszcza dotyczącego logiki, nie będę w zasadzie zakładał żadnej konkretnej wiedzy matematycznej. Dlatego wykład powinien być zrozumiały dla studentów starszych lat zarówno matematyki jak i informatyki.

W na początku omówię podstawowe pojęcia dotyczące Teorii Kategorii: kategorie, funktory, transformacje naturalne, granice, kogranice i sprzężenia funktorów.

Następnie planuję omówienie logicznych zastosowań, głównie Teorii Toposów. Toposy są to kategorie, które mają szereg własności podobnych to kategorii zbiorów $Set$ co powoduje, że można w nich interpretować logikę nawet wyższego rzędu. Z drugiej strony jest wiele toposów, których szczególne własności pozwalają na modelowanie pewnych zjawisk, które nie mają modeli w kategorii zbiorów.

Początkowa część wykładu, siłą rzeczy, będzie miała wiele wspólnego z początkową częścią mojego ubiegłorocznego jesiennego wykładu. Natomiast dalsza część będzie się istotnie różnić.

Ogólne wprowadzenie:
S. MacLane, Categories for the Working Mathematician
M. Barr, Ch. Wells, Category Theory for Computing Science
Logika Kategoryjna:
M. Makkai, G.E. Reyes, First Order Categorical Logic
J. Lambek, P. Scott, Introduction to Higer Order Categorical Logic
Teoria Toposów:
I. Moerdijk, S. MacLane, Sheaves in Geometry and Logic
M. Barr, Ch. Wells, Toposes, Triples and Theories