Matematyczne podstawy ogólnej teorii względności 1000-1M03MP

Głównym celem wykładu jest wyjaśnienie słuchaczom matematycznej struktury ogólnej teorii względności oraz wskazanie implikacji fizycznych i kosmologicznych tej teorii. Słuchacz mający elementarne przygotowanie z geometrii różniczkowej (np. w zakresie Geometrii Różniczkowej II) powinien bez trudu zrozumieć główne idee teorii grawitacji Einsteina. Potrzebne pojęcia będą wprowadzone w pierwszej części wykładu.
Rozpoczniemy od wyjaśnienia szczególnej teorii względności w oparciu o geometrię Minkowskiego w R^4. Pokażemy, że przekształcenia Lorentza i zasada Einsteina niezmien-niczości praw fizyki względem tych przekształceń implikują w prosty sposób nieistnienie absolutnego czasu oraz efekty skrócenia czasu i odległości.
Następnie wprowadzimy główne pojęcia geometrii pseudo riemannowskiej: metryki (pseudo) riemannowskiej, koneksji oraz koneksji Levi-Civity, geodezyjnych w takiej przestrzeni oraz tensora krzywizny.
Wprowadzimy równania pola (równania Einsteina dla metryki). Wykażemy, że metryka Schwartzschilda jest rozwiązaniem równań Einsteina w przestrzeni z masą skoncentrowaną w pobliżu jednego punktu (np. zapadnięta gwiazda). Wskażemy główne efekty "zakrzywienia przestrzeni" tzn. zakrzywienie linii geodezyjnych (np. zakrzywienie fotonów biegnących w pobliżu Słońca) zwolnienie czasu własnego w pobliżu dużej masy i.t.p. Przeanalizujemy zjawisko "czarnej dziury".
Pokażemy związek teorii grawitacji Einsteina i Newtona oraz to, że układ równań Einsteina jest układem hiperbolicznym (jego rozwiązania mają charakter falowy). Wspomnimy o próbach wykrycia fal grawitacyjnych.
Przedyskutujemy rozwiązanie Robertsona-Walkera, teorię "wielkiego wybuchu" i modele kosmologiczne Friedmanna. Wskażemy jak można wyliczyć wiek Wszechświata w tych modelach. W końcu wskażemy na niektóre problemy matematyczne interesujące w kontekście ogólnej teorii względności.
Dla zrozumienia wykładu potrzebne jest wstępne obycie z pojęciem rozmaitości różniczkowej i niektórymi obiektami na niej (pola wektorowe, metryka Riemanna, geodezyjne) np. w zakresie Geometrii Różniczkowej II. Potrzebne pojęcia będą wprowadzane na wykładzie.
Literatura
0. Typowy wstęp do geometrii riemannowskiej (książka i autor zostaną podane później).
1. W. Kopczyński, A. Trautman, Czasoprzestrzeń i grawitacja, PWN 1981.
2. J. Foster, J.D. Nightingale, Ogólna teoria wzgledności, PWN 1985.
3. B.F. Schutz, Wstęp do ogólnej teorii względności, PWN 1995.