Wstęp do układów dynamicznych 1000-135WUD
1. Dynamika przekształceń odcinka na przykładzie rodziny kwadratowej – sprzężenie, hiperboliczność, dynamika symboliczna, twierdzenie Szarkowskiego.
2. Homeomorfizmy okręgu – liczba obrotu, twierdzenie Denjoy’a, strukturalna stabilność, własność Morse’a–Smale’a.
3. Dynamika przekształceń torusa – przesunięcia, algebraiczne automorfizmy, rozbicie Markowa.
4. Układy chaotyczne – podkowa Smale’a, przykłady atraktorów, solenoidy, rozmaitości stabilne i niestabilne, hiperboliczność.
5. Miary niezmiennicze, twierdzenie Poincarego o powracaniu, ergodyczność, entropia.
6. Przykłady bilardów – bilard w wielokącie i elipsie.
7. Dynamika holomorficzna – zbiory Julii, zespolona rodzina kwadratowa, zbiór Mandelbrota, zespolona metoda Newtona.
8. Wymiar Hausdorffa i fraktale.
Rodzaj przedmiotu
Koordynatorzy przedmiotu
Efekty kształcenia
1. Znajomość podstawowych pojęć teorii układów dynamicznych (układ dynamiczny, trajektoria, zbiór graniczny, sprzężenie).
2. Iteracje przekształceń odcinka: znajomość twierdzenia Szarkowskiego, znajomość podstawowych informacji o rodzinie kwadratowej (logistycznej).
3. Dynamika homeomorfizmów okręgu: znajomość pojęcia liczby obrotu i jej własności, znajomość twierdzenia Denjoy’a.
4. Dynamika przekształceń torusa: znajomość podstawowych informacji o algebraicznych automorfizmach torusa.
5. Chaotyczne układy dynamiczne: znajomość twierdzenia Hadamarda-Perrona i definicji rozmaitości stabilnych i niestabilnych, układu hiperbolicznego i atraktora, znajomość pojęcia kodowania dla podkowy Smale’a, umiejętność jakościowego przeanalizowania prostych przykładów gładkich układów dynamicznych.
6. Teoria ergodyczna układów dynamicznych: znajomość definicji miary niezmienniczej i pojęcia ergodyczności, znajomość podstawowych przykładów układów zachowujących miarę, znajomość twierdzenia Poincarego o powracaniu.
7. Dynamika holomorficzna: znajomość pojęcia zbioru Julii i zbioru Mandelbrota, znajomość podstawowych przykładów dynamiki przekształceń holomorficznych.
Kryteria oceniania
Rozwiązywanie zadań domowych i przedstawianie ich na ćwiczeniach. Egzamin pisemny – kilka zadań dotyczących podstawowych własności i przykładów układów dynamicznych. W razie potrzeby egzamin ustny.
Literatura
1. A. Boyarsky and P. Góra, Laws of chaos. Invariant measures and dynamical systems in one dimension, Birkhauser, 1997.
2. R. Devaney, An introduction to chaotic dynamical systems, Westview Press, 2003.
3. B. Hasselblatt, A. Katok, A first course in dynamics. With a panorama of recent developments, Cambridge University Press, 2003.
4. M. Pollicott and M. Yuri, Dynamical systems and ergodic theory, Cambridge University Press, 1998l.
5. C. Robinson, Dynamical systems. Stability, symbolic dynamics and chaos, CRC Press, 1998.
6. W. Szlenk, Wstęp do teorii gładkich układów dynamicznych, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1982.
Więcej informacji
Więcej informacji o poziomie przedmiotu, roku studiów (i/lub semestrze) w którym się odbywa, o rodzaju i liczbie godzin zajęć - szukaj w planach studiów odpowiednich programów. Ten przedmiot jest związany z programami:
Dodatkowe informacje (np. o kalendarzu rejestracji, prowadzących zajęcia, lokalizacji i terminach zajęć) mogą być dostępne w serwisie USOSweb: