Wstęp do równań różniczkowych cząstkowych 1000-135WRC
Przykłady rownań różniczkowych cząstkowych; związki z fizyką i geometrią. Równania różniczkowe cząstkowe pierwszego rzędu, informacja o metodzie charakterystyk. (1--2 wykłady)
Równanie falowe w wymiarach n=1, 2, 3. Wzory d'Alemberta, Poissona, Kirchhoffa. Istnienie i jednoznaczność rozwiązań. Zasada Huygensa. Niejednorodne równanie falowe, metoda Duhamela. Równanie przewodnictwa cieplnego. Zasada maksimum. Istnienie i jednoznaczność rozwiązań. Interpretacja probabilistyczna. Porównanie własności rozwiązań równania przewodnictwa cieplnego i równania falowego; interpretacje fizyczne. Równanie Laplace'a i Poissona. Funkcje harmoniczne: własność wartości średniej, zasada maksimum, nierówność Harnacka, ciągi funkcji harmonicznych. Funkcja Greena. Metoda Perrona i pojęcie bariery. Klasyfikacja równań rzędu drugiego. (4--6 wykładów)
Dystrybucje i przestrzenie Sobolewa: motywacje i definicje. Gęstość funkcji gładkich. Nierówność Poincarego.
Twierdzenie Sobolewa o włożeniu. Twierdzenie o śladzie. Metoda wariacyjna Ritza i słabe rozwiązania eliptycznych zagadnień brzegowych. Lemat Weyla; wzmianka o teorii regularności. (3--4 wykłady)
Funkcje i wartości własne operatora Laplace'a. (1--2 wykłady)
Twierdzenie Cauchy'ego i Kowalewskiej; przykład istotności założeń. Informacja o twierdzeniu Holmgrena. (1 wykład)
Rodzaj przedmiotu
Koordynatorzy przedmiotu
W cyklu 2023L: | W cyklu 2024L: |
Efekty kształcenia
Wiedza i umiejętności:
1. wie, co to jest równanie różniczkowe cząstkowe; rozróżnia równania eliptyczne, hiperboliczne i paraboliczne
2. umie wyprowadzić wzór d’Alemberta; zna metodę wyprowadzenia wzorów Kirchhoffa i Poissona
3. zna własności funkcji harmonicznych, w szczególności własność wartości średniej i jej konsekwencje
4. zna nierówność Harnacka i jej konsekwencje
5. w prostych przypadkach znajduje funkcję Greena
6. zna wzór na rozwiązanie równania ciepła w całej przestrzeni
7. umie wykorzystywać zasadę maksimum w dowodach jednoznaczności rozwiązań
8. korzysta z metod energetycznych
9. umie rozwiązywać wybrane równania różniczkowe cząstkowe metodą rozdzielenia zmiennych; zna podstawowe własności szeregów Fouriera
10. zna metodę Perrona
11. zna definicje i podstawowe własności przestrzeni Sobolewa
12. umie wykazać istnienie słabych rozwiązań, posługując się twierdzeniem Laxa-Milgrama
13. umie wykazać nierówność Poincarego oraz twierdzenie Sobolewa
14. na wybranych przykładach pokazuje związek istnienia rozwiązania równania różniczkowego z istnieniem minimum odpowiedniego funkcjonału
Kompetencje społeczne:
1. umie pracować w grupie, rozwiązując i omawiając problemy związane z teorią równań różniczkowych cząstkowych
2. zna rolę równań różniczkowych cząstkowych w opisie świata fizycznego
Literatura
L.C. Evans. Równania różniczkowe cząstkowe. PWN, Warszawa 2002.
L. Bers, J. Fritz, M. Schechter. Partial differential equations. Interscience, 1964.
Więcej informacji
Więcej informacji o poziomie przedmiotu, roku studiów (i/lub semestrze) w którym się odbywa, o rodzaju i liczbie godzin zajęć - szukaj w planach studiów odpowiednich programów. Ten przedmiot jest związany z programami:
Dodatkowe informacje (np. o kalendarzu rejestracji, prowadzących zajęcia, lokalizacji i terminach zajęć) mogą być dostępne w serwisie USOSweb: