Wstęp do procesów stochastycznych 1000-135WPS
1. Procesy stochastyczne - podstawowe definicje. Procesy o przyrostach niezależnych. Proces Wienera i proces Poissona, własności trajektorii. Nieróżniczkowalność trajektorii ruchu Browna. Konstrukcja procesu Wienera za pomocą funkcji Haara, konstrukcja procesu Poissona.
2. Elementy ogólnej teorii procesów: rozkłady skończeniewymiarowe, informacje o warunkach zgodności i twierdzeniu o istnieniu procesu (bez dowodu). Sprawdzenie warunków zgodności dla wybranych procesów.
3. Twierdzenie Kołmogorowa o istnieniu modyfikacji ciągłej.
4. Procesy Markowa - podstawowe definicje. Markowskość procesu Wienera. Mocna własność Markowa dla procesu Wienera. Zasada odbicia, rozkład supremum procesu Wienera.
5. Procesy gaussowskie. Własności funkcji kowariancji. Proces Wienera jako proces gaussowski. Ułamkowy ruch Browna. Proces Ornsteina-Uhlenbecka.
6. Momenty zatrzymania, filtracje. Jednostajna całkowalność – w miarę potrzeb.
7. Martyngały z czasem ciągłym, twierdzenia: Dooba o stopowaniu, nierówności, twierdzenia o zbieżności.
8. Martyngały związane z procesem Wienera, momenty wyjścia z kuli/dojścia do kuli, powracalność i tranzytywność.
Rodzaj przedmiotu
Założenia (opisowo)
Koordynatorzy przedmiotu
W cyklu 2023L: | W cyklu 2024L: |
Efekty kształcenia
I. Wiedza.
1. Zna podstawowe pojęcia nowoczesnej teorii procesów stochastycznych.
2. Zna definicję i podstawowe własności procesu Poissona i Wienera.
3. Ma wiedzę z zakresu podstaw procesów Markowa i martyngałów z czasem ciągłym.
II. Umiejętności.
1. Potrafi badać procesy stochastyczne pod kątem ich własności.
2. Potrafi operować podstawowymi twierdzeniami dotyczącymi martyngałów z czasem ciągłym.
3. Umie badać i stosować własność Markowa dla danych procesów.
III. Kompetencje społeczne.
Umie przedstawić w zrozumiałym języku podstawowe pojęcia teorii procesów stochastycznych i zaprezentować ich przykłady.
Literatura
1. J. Jakubowski, R. Sztencel, Wstęp do teorii prawdopodobieństwa, Script, Warszawa, wydanie IV, Warszawa 2010.
2. R. Schilling, Lothar Partzsch, Brownian Motion: An Introduction to Stochastic Processes Walter de Gruyter, 2012.
3. A.D. Wentzell. Wykłady z teorii procesów stochastycznych, PWN, Warszawa, 1980.
Więcej informacji
Więcej informacji o poziomie przedmiotu, roku studiów (i/lub semestrze) w którym się odbywa, o rodzaju i liczbie godzin zajęć - szukaj w planach studiów odpowiednich programów. Ten przedmiot jest związany z programami:
Dodatkowe informacje (np. o kalendarzu rejestracji, prowadzących zajęcia, lokalizacji i terminach zajęć) mogą być dostępne w serwisie USOSweb: