Wstęp do geometrii różniczkowej 1000-135WGR
1. Podrozmaitości przestrzeni euklidesowych, parametryzacje, twierdzenie o rzędzie (przypomnienie). Przestrzenie wektorów stycznych; przekształcenia gładkie i ich pochodna (różniczka). Bazy przestrzeni stycznych wyznaczane przez parametryzacje (mapy). Przykład podrozmaitości: grupa ortogonalna. Przekształcenia rozmaitości, których różniczka zachowuje iloczyn skalarny (izometrie wewnętrzne). Izometrie przestrzeni euklidesowych (przypomnienie).
2. Metoda ruchomego reperu. Krzywe w przestrzeniach euklidesowych, ze szczególnym uwzględnieniem wymiarów 2 i 3.
3. Równania Freneta-Serreta (jako zastosowanie metody ruchomego reperu); twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności krzywej o zadanych krzywiznach. Twierdzenie Hopfa o indeksie zamkniętej krzywej płaskiej (Umlaufsatz), ew. bez dowodu.
4. Zorientowane powierzchnie w 3-wymiarowej przestrzeni euklidesowej. Reper Darboux krzywej na powierzchni - krzywizna normalna i geodezyjna, skręcenie geodezyjne (zastosowanie metody ruchomego reperu). Krzywe geodezyjne. Geometryczna interpretacja krzywizny normalnej jako krzywizny przekroju. Odwzorowanie Weingartena; krzywizny główne, krzywizna Gaussa i krzywizna średnia. I i II forma podstawowa oraz ich macierze w bazach wyznaczonych przez parametryzację. (3 wykłady)
5. Geometria wewnętrzna powierzchni. Symbole Christoffela i ich wyrażenie w terminach współczynników I formy podstawowej. Theorema egregium. Równania krzywych geodezyjnych w terminach symboli Christoffela. Istnienie parametryzacji półgeodezyjnej i własność minimalności geodezyjnych. Powierzchnie o stałej krzywiźnie Gaussa (trójkąty geodezyjne).
5. Pola wzdłuż krzywych gładkich na powierzchniach i ich pochodna kowariantna. Pola równoległe i przeniesienie równoległe wektorów stycznych. Interpretacja całki krzywizny Gaussa w terminach przeniesienia równoległego po brzegu obszaru. Lokalna wersja tw. Gaussa-Bonneta. Wersja globalna (ewentualnie bez dowodu).
6. Abstrakcyjna metryka Riemanna na podzbiorach otwartych przestrzeni afinicznej. Długość krzywej i miara wyznaczona przez metrykę Riemanna oraz inne pojęcia geometrii wewnętrznej (np. geodezyjne). Modele płaszczyzny hiperbolicznej (ew. związki z analizą zespoloną).
Kierunek podstawowy MISMaP
informatyka
fizyka
Rodzaj przedmiotu
Tryb prowadzenia
Założenia (opisowo)
Koordynatorzy przedmiotu
W cyklu 2024Z: | W cyklu 2023Z: |
Efekty kształcenia
Student:
1. Rozumie pojęcie podrozmaitości w przestrzeniach euklidesowych, geometryczne znaczenie wektora stycznego oraz
pochodnej (różniczki) odwzorowania między podrozmaitościami.
2. Rozumie geometryczny sens parametryzacji krzywej jej długością oraz pojęcia krzywizny i torsji krzywej przestrzennej. Rozumie geometryczny sens twierdzenia Umlaufsatz.
3. Rozumie różnicę między geometrycznymi własnościami wewnętrznymi i zewnętrznymi podrozmaitości przestrzeni euklidesowych. Rozumie geometryczny sens odwzorowania Weingartena zorientowanej powierzchni.
4. Potrafi wskazać na powierzchni punkty o dodatniej, ujemnej i zerowej krzywiźnie Gaussa oraz wie, że krzywizna Gaussa jest niezmiennikiem geometrii wewnętrznej.
5. Zna geometryczną interpretację geodezyjnych na powierzchniach i wie, że są one zachowywane przy izometriach wewnętrznych.
6. Potrafi wskazać przykłady przeniesienia równoległego wektorów wzdłuż krzywych.
7. Zna przykłady powierzchni o stałej krzywiźnie oraz własności trójkątów geodezyjnych na tych powierzchniach.
8. Rozumie geometryczny sens lokalnego twierdzenia Gaussa-Bonneta i topologiczny sens globalnego twierdzenia Gaussa-Bonneta (oraz analogię z twierdzeniem Hopfa).
9. Zna przykłady powierzchni z abstrakcyjną metryką Riemanna (w szczególności modele geometrii hiperbolicznej na kole i półpłaszczyźnie).
Kryteria oceniania
Ocena końcowa na podstawie przedstawionego eseju i dwuczęściowego egzaminu pisemnego składającego się z testu oraz zadań.
Literatura
1. C. Bowszyc, J. Konarski, Wstęp do geometrii różniczkowej, Wydawnictwa Uniwersytetu Warszawskiego, Warszawa 2016.
2. M. Do Carmo, Differential geometry of curves and surfaces. Revised & updated second edition, Dover Publications, Inc., Mineola 2016.
3. A. Gray, E. Abbena, S. Salamon, Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica. Third Edition, Studies in Advanced Mathematics. Chapman & Hall/CRC, Boca Raton 2006.
4. S. Jackowski, Geometria różniczkowa. Pomocnik studenta, Skrypt MIM UW, Warszawa 2018. – dostęp ze strony www autora.
5. W. Klingenberg, A course in differential geometry, Springer-Verlag, New York-Heidelberg 1978.
6. S. Montiel, A. Ros, Curves and surfaces. Second edition, Graduate Studies in Mathematics 69, American Mathematical Society, Providence; Real Sociedad Matemática Espanola, Madrid 2009.
7. J. Oprea, Geometria różniczkowa i jej zastosowania, PWN, Warszawa 2002
Więcej informacji
Więcej informacji o poziomie przedmiotu, roku studiów (i/lub semestrze) w którym się odbywa, o rodzaju i liczbie godzin zajęć - szukaj w planach studiów odpowiednich programów. Ten przedmiot jest związany z programami:
Dodatkowe informacje (np. o kalendarzu rejestracji, prowadzących zajęcia, lokalizacji i terminach zajęć) mogą być dostępne w serwisie USOSweb: