Teoria liczb 1000-135TL
1. Wprowadzenie liczb naturalnych, podstawy teorii, Aksjomaty Peano,
2. Liczby całkowite Z i ich podstawowe własności (w tym algorytm Euklidesa oraz tak zwane podstawowe twierdzenie arytmetyki),
3. Kongruencje, pierścienie ilorazowe Zm i ich podstawowe własności z zastosowaniami (tw. Wilsona, Eulera, Fermata),
4. Liczby pseudopierwsze, kryterium Millera-Rabina,
5. Zastosowania do kryptografii (podpis elektroniczny),
6. Liniowe równania diofantyczne,
7. Przedstawianie liczb pierwszych w postaci x2+dy2
8. Kwadratowe prawo wzajemności i jego konsekwencje,
9. Klasyczne problemy Teorii liczb: Wielkie twierdzenie Fermata hipoteza
Goldbacha, problem Waringa, dzeta-funkcja i hipoteza Riemanna,
10. Twierdzenie o liczbach pierwszych,
11. Wstęp do ogólnej teorii elementów całkowitych i rozszerzeń całkowitych,
12. Pierścienie liczb całkowitych w skończonych rozszerzeniach ciała liczb
wymiernych, istnienie bazy całkowitej, pierścienie Dedekinda,
13. Rozkłady ideałów w pierścieniach Dedekinda,
14. Pierścienie liczb całkowitych w rozszerzeniach kwadratowych. pierścienie
Euklidesowe, zastosowania do rozwiązywania równań diofantycznych.
15. Pierścienie liczb całkowitych w rozszerzeniach cyklotomicznych, związek z Wielkim twierdzeniem Fermata
16. Elementy odwracalne w pierścieniach liczb całkowitych rozszerzeń kwadratowych, równanie Pella. Informacja o twierdzeniu Dirichleta
Rodzaj przedmiotu
Koordynatorzy przedmiotu
W cyklu 2023L: | W cyklu 2024Z: |
Efekty kształcenia
1. Student zna podstawowe fakty i pojęcia związane z zasadniczym twierdzeniem arytmetyki; zna uogólnienia tego twierdzenia na przypadek pierścieni liczb całkowitych ciał liczbowych.
2. Student zdaje sobie sprawę z fundamentalnego znaczenia liczb pierwszych w matematyce i zna historię badań nad ich rozmieszczeniem; potrafi sformułować i udowodnić twierdzenie Czebyszewa lub Hadamarda-Poussena o liczbach pierwszych.
3. Student zna pojęcie kongruencji w pierścieniu liczb całkowitych i postrzega je na tle rozwoju algebry abstrakcyjnej; potrafi stosować podstawowe fakty i twierdzenia (małe twierdzenie Fermata, twierdzenie Eulera, twierdzenie Wilsona); rozumie znaczenie teorii kongruencji dla współczesnej kryptografii.
4. Student potrafi rozwiązywać najprostsze równania diofantyczne (w szczególności dowodzić, że dane równanie nie ma rozwiązań); umie wykorzystywać w tym celu własności pierścieni liczb całkowitych w ciałach liczbowych.
5. Student zna prawo wzajemności dla reszt kwadratowych i potrafi je stosować.
6. Student zna najsłynniejsze otwarte problemy teorii liczb; potrafi rozeznać ich znaczenie w samej teorii liczb i w szerszym kontekście (matematycznym i kulturowym).
Kryteria oceniania
Przedmiot kończy się egzaminem. Dopuszczenie do egzaminu jest warunkowane zaliczeniem ćwiczeń u prowadzących. Dopuszczenia do egzaminu w terminie zerowym odbywa się w oparciu o przedstawioną opinię n.t. studenta przez prowadzącego ćwiczenia.
Więcej informacji
Więcej informacji o poziomie przedmiotu, roku studiów (i/lub semestrze) w którym się odbywa, o rodzaju i liczbie godzin zajęć - szukaj w planach studiów odpowiednich programów. Ten przedmiot jest związany z programami:
Dodatkowe informacje (np. o kalendarzu rejestracji, prowadzących zajęcia, lokalizacji i terminach zajęć) mogą być dostępne w serwisie USOSweb: