Algebra tensorów i analiza form różniczkowych 1000-135TFR
- https://moodle.mimuw.edu.pl/course/view.php?id=2884 (w cyklu 2026Z)
1. Pojęcie k-form różniczkowych na otwartych podzbiorach R^n z wykorzystaniem lokalnego układu współrzędnych.
2. Operacje iloczynu zewnętrznego i różniczki. Operacja cofnięcia (pull-back) form różniczkowych. Przemienność z iloczynem zewnętrznym oraz różniczką zewnętrzną. Własność d^2 = 0.
3. Rozmaitości różniczkowe, mapy i atlas. Formy różniczkowe na rozmaitościach. Lemat Poincare dla odwzorowań homotopijnych.
6. Całka z formy po zwartej, zorientowanej rozmaitości. Ogólne twierdzenie Stokesa.
7. Odwzorowania wieloliniowe, w tym symetryczne i antysymetryczne , tensory, własność uniwersalna, produkty tensorowe odwzorowań.
8. Algebra zewnętrzna Grassmanna (nad ciałem i algebrą funkcji), algebra symetryczna.
9. Od przestrzeni liniowych do tensorów o współczynnikach funkcyjnych (modułów i snopów). Moduł różniczkowań, różniczkowanie form, formy różniczkowe, cofanie form.
10, Kompleks de Rhama, kohomologie de Rhama, twierdzenie de Rhama dla zwartych zorientowanych rozmaitości. Stopień odwzorowania.
11. Ciąg Mayera-Vietorisa i wnioski z niego.
12. Tensory i operatory różniczkowe na rozmaitościach (opcjonalnie).
Koordynatorzy przedmiotu
Rodzaj przedmiotu
Wymagania (lista przedmiotów)
Efekty uczenia się
1. Zna pojęcie form różniczkowych i umie wykonywać operacje iloczynu zewnętrznego, różniczki oraz cofnięcia (pull-back) z wykorzystaniem lokalnych współrzędnych.
2. Umie całkować formy po zorientowanych rozmaitościach z wykorzystaniem parametryzacji.
3. Zna ogólne twierdzenie Stokesa i umie je zastosować w praktyce.
4. Rozumie rolę iloczynu skalarnego na rozmaitości (struktura riemannowska) i związanych z nim obiektów takich jak forma objętości, operator Hodge'a. Zna i umie zastosować operację iloczynu wewnętrznego k-formy i pola wektorowego.
5. Umie wyrazić klasyczne operacje analizy wektorowej w języku tensorów i form różniczkowych. Rozumie związek klasycznych twierdzeń: Gaussa, Greena, Stokesa z ogólnym twierdzeniem Stokesa.
6. Zna Lemat Poincare oraz umie znaleźć lokalnie formę pierwotną k-formy zamkniętej. Rozumie rolę przeszkód topologicznych do istnienia formy pierwotnej w ogólnym przypadku.
7. Zna pojęcie kohomologii de Rhama oraz ich strukturę multiplikatywną.
8. Umie wyliczać wymiary i znajdować generatory kohomologii z użyciem ciągu Mayera-Vietorisa.
9. Umie policzyć stopień odwzorowania.
Kryteria oceniania
Zaliczenie przedmiotu na podstawie pracy podczas semestru oraz egzaminu.
Literatura
Raoul Bott, Loring Tu, Differential Forms in Algebraic Topology, Springer GTM82
Jacek Komorowski, Od liczb zespolonych do tensorów, spinorów, algebr Liego i kwadryk, PWN
John Milnor, Topology from the differentiable viewpoint, Princeton 1997
Michael Spivak, Calculus on Manifolds, Addison-Wesley (jest też polskie wydanie)