Algebra tensorów i analiza form różniczkowych 1000-135TFR

1. Pojęcie k-form różniczkowych na otwartych podzbiorach R^n z wyróżnionym układem współrzędnych. Formy bazowe dx_j definiowane jako baza dualna do standardowej bazy R^n.
2. Operacje iloczynu zewnętrznego i różniczki zdefiniowane formalnie. Bazowe formy d x_j pokrywają się z różniczkami funkcji współrzędnych. Operacja cofnięcia (pull-back) form różniczkowych. Przemienność z iloczynem zewnętrznym oraz różniczką zewnętrzną, d^2 = 0.
3. Rozmaitości różniczkowe, mapy i atlas. Formy różniczkowe na rozmaitościach. Lemat Poincare dla odwzorowań homotopijnych.
6. Całka z formy po zwartej, zorientowanej rozmaitości. Ogólne twierdzenie Stokesa.
7. Odwzorowania wieloliniowe, w tym symetryczne i antysymetryczne , tensory, własność uniwersalna, produkty tensorowe odwzorowań.
8. Algebra zewnętrzna Grassmanna (nad ciałem, przestrzenią liniową), algebra symetryczna.
9. Od przestrzeni liniowych do tensorów o współczynnikach funkcyjnych (modułów i snopów). Moduł różniczkowań, różniczkowanie form, formy różniczkowe, cofanie form.
10, Kompleks de Rhama, kohomologie de Rhama, twierdzenie de Rhama dla zwartych zorientowanych rozmaitości. Stopień odwzorowania.
11. Ciąg Mayera-Vietorisa i wnioski z niego.
12. Tensory i operatory różniczkowe na rozmaitościach (opcjonalnie).