Algebra tensorów i analiza form różniczkowych 1000-135TFR
1. Pojęcie k-form różniczkowych na otwartych podzbiorach R^n z wykorzystaniem lokalnego układu współrzędnych.
2. Operacje iloczynu zewnętrznego i różniczki. Operacja cofnięcia (pull-back) form różniczkowych. Przemienność z iloczynem zewnętrznym oraz różniczką zewnętrzną. Własność d^2 = 0.
3. Rozmaitości różniczkowe, mapy i atlas. Formy różniczkowe na rozmaitościach. Lemat Poincare dla odwzorowań homotopijnych.
6. Całka z formy po zwartej, zorientowanej rozmaitości. Ogólne twierdzenie Stokesa.
7. Odwzorowania wieloliniowe, w tym symetryczne i antysymetryczne , tensory, własność uniwersalna, produkty tensorowe odwzorowań.
8. Algebra zewnętrzna Grassmanna (nad ciałem i algebrą funkcji), algebra symetryczna.
9. Od przestrzeni liniowych do tensorów o współczynnikach funkcyjnych (modułów i snopów). Moduł różniczkowań, różniczkowanie form, formy różniczkowe, cofanie form.
10, Kompleks de Rhama, kohomologie de Rhama, twierdzenie de Rhama dla zwartych zorientowanych rozmaitości. Stopień odwzorowania.
11. Ciąg Mayera-Vietorisa i wnioski z niego.
12. Tensory i operatory różniczkowe na rozmaitościach (opcjonalnie).
Koordynatorzy przedmiotu
Rodzaj przedmiotu
Wymagania (lista przedmiotów)
Efekty kształcenia
1. Zna pojęcie form różniczkowych i umie wykonywać operacje iloczynu zewnętrznego, różniczki oraz cofnięcia (pull-back) z wykorzystaniem lokalnych współrzędnych.
2. Umie całkować formy po zorientowanych rozmaitościach z wykorzystaniem parametryzacji.
3. Zna ogólne twierdzenie Stokesa i umie je zastosować w praktyce.
4. Rozumie rolę iloczynu skalarnego na rozmaitości (struktura riemannowska) i związanych z nim obiektów takich jak forma objętości, operator Hodge'a. Zna i umie zastosować operację iloczynu wewnętrznego k-formy i pola wektorowego.
5. Umie wyrazić klasyczne operacje analizy wektorowej w języku tensorów i form różniczkowych. Rozumie związek klasycznych twierdzeń: Gaussa, Greena, Stokesa z ogólnym twierdzeniem Stokesa.
6. Zna Lemat Poincare oraz umie znaleźć lokalnie formę pierwotną k-formy zamkniętej. Rozumie rolę przeszkód topologicznych do istnienia formy pierwotnej w ogólnym przypadku.
7. Zna pojęcie kohomologii de Rhama oraz ich strukturę multiplikatywną.
8. Umie wyliczać wymiary i znajdować generatory kohomologii z użyciem ciągu Mayera-Vietorisa.
9. Umie policzyć stopień odwzorowania.
Kryteria oceniania
Zaliczenie przedmiotu na podstawie pracy podczas semestru oraz egzaminu pisemnego i ustnego.
Literatura
Raoul Bott, Loring Tu, Differential Forms in Algebraic Topology, Springer GTM82
Jacek Komorowski, Od liczb zespolonych do tensorów, spinorów, algebr Liego i kwadryk, PWN
John Milnor, Topology from the differentiable viewpoint, Princeton 1997
Michael Spivak, Calculus on Manifolds, Addison-Wesley (jest też polskie wydanie)