Równania różniczkowe cząstkowe 1000-135RRC
Przykłady równań różniczkowych cząstkowych, związki z fizyką i innymi dziedzinami nauki. Równania różniczkowe I rzędu, informacja o metodzie charakterystyk (2 wykłady).
Równanie Laplace'a, funkcje harmoniczne. Rozwiązanie podstawowe, reprezentacja rozwiązań za pomocą funkcji Greena. Własność wartości średniej, zasady maksimum i ich zastosowania (2 wykłady).
Transformata Fouriera - definicja i podstawowe własności. Przykłady zastosowań do liniowych RRC. (1 wykład)
Elementy teorii dystrybucji i przestrzeni Sobolewa. Pojęcie i podstawowe własności słabej pochodnej, aproksymacja funkcjami gładkimi, twierdzenia o zanurzeniu i o śladzie. Twierdzenie Rellicha-Kondraszowa. (3 wykłady)
Słabe rozwiązania zagadnień eliptycznych. Twierdzenie Laxa-Milgrama i jego zastosowania. Metoda Galerkina. Alternatywa Fredholma, elementy teorii spektralnej. (3 wykłady).
Wprowadzenie do teorii regularności dla równań eliptycznych (1 wykład).
Przykłady zastosowań twierdzeń o punkcie stałym oraz metody Galerkina do równań nieliniowych (1-2 wykłady).
Rodzaj przedmiotu
Założenia (opisowo)
Koordynatorzy przedmiotu
W cyklu 2024Z: | W cyklu 2023Z: |
Efekty kształcenia
Student:
1. Zna podstawowe własności operatora Laplace'a i funkcji harmonicznych
2. Zna definicję i podstawowe własności transformaty Fouriera i przykłady jej zastosowań w teorii równań różniczkowych cząstkowych.
3. Zna pojęcie słabej pochodnej i podstawowe własności przestrzeni Sobolewa.
4. Zna podstawowe wersje twierdzeń o śladzie i zanurzeniu dla przestrzeni Sobolewa oraz nierówności typu Poincare. Potrafi używać ich w oszacowaniach dla liniowych równań cząstkowych.
5. Potrafi stosować tw. Laxa-Milgrama w dowodach istnienia słabych rozwiązań równań eliptycznych.
6. Zna metodę Galerkina i jej podstawowe zastosowania w teorii RRCz.
6. Zna podstawowe twierdzenia o punkcie stałym i proste przykłady ich zastosowań do równań nieliniowych.
Literatura
L.C.Evans, Równania różniczkowe cząstkowe. PWN, Warszawa 2002
D.Gilbarg, N.S.Trudinger, Elliptic partial differential equations of second order. Springer-Verlag, Berlin 1983
Więcej informacji
Więcej informacji o poziomie przedmiotu, roku studiów (i/lub semestrze) w którym się odbywa, o rodzaju i liczbie godzin zajęć - szukaj w planach studiów odpowiednich programów. Ten przedmiot jest związany z programami:
Dodatkowe informacje (np. o kalendarzu rejestracji, prowadzących zajęcia, lokalizacji i terminach zajęć) mogą być dostępne w serwisie USOSweb: