Metody wariacyjne i układy dynamiczne w naukach przyrodniczych i społecznych 1000-135MPS

Modele matematyczne z czasem dyskretnym. Elementarne motywacyjne przykłady z biologii populacyjnej i
ekonomii. Dyskretny układ dynamiczny. Pojęcie trajektorii (orbity), stanu stacjonarnego i okresowego. Zbiory alfa- i omega-graniczne. Sprzężenie topologiczne układów dynamicznych. Układy liniowych równań różnicowych (związki ze schematami numerycznymi i łańcuchami Markowa). Stan stacjonarny hiperboliczny.
Linearyzacja. Twierdzenia Grobmana-Hartmana i Hadamarda-Perrona (bez dowodu). Stabilność stanu stacjonarnego. Pojęcie stabilności strukturalnej i jego znaczenie w zastosowaniach matematyki. Elementy teorii bifurkacji, w tym twierdzenie o bifurkacji podwojenia okresu. Diagramy bifurkacyjne. Chaos deterministyczny (wg. Devaney'a). Przekształcenie piekarza i przekształcenie typu namiot. Równanie logistyczne (dowód chaotyczności dla r=4). Przesunięcie Bernoulliego, informacje o teorii ergodycznej. Przykłady z biologii populacyjnej, ekologii i ekonomii. (4--5 wykładów)
Modele matematyczne z czasem ciągłym i ich analiza jakościowa. Pojęcie pola wektorowego. Podstawowe definicje w przypadku potoku. Portrety fazowe. Sprzężenie topologiczne a równoważność topologiczna portretów fazowych. Linearyzacja w punkcie stacjonarnym. Znaczenie twierdzeń Grobmana-Hartmana i Hadamarda-Perrona (bez dowodów). Pojęcie stabilności stanu stacjonarnego (asymptotyczna i w sensie
Lapunowa). Twierdzenie o stabilności stanu stacjonarnego na podstawie widma części liniowej. Definicja układu dynamicznego w przestrzeni metrycznej. Pojęcie zbioru pochłaniającego i atraktora globalnego. Twierdzenie o istnieniu atraktora globalnego oraz wnioski dla układów dynamicznych generowanych przez równania różniczkowe zwyczajne. Zasada niezmienniczości LaSalle'a. Atraktory chaotyczne. Atraktor Lorenza (dowód istnienia wraz z omówieniem jego znaczenia). Porównanie własności modeli z czasem ciągłym i dyskretnym
(na przykładzie np. równania logistycznego). Portrety fazowe na płaszczyźnie. Indeks punktu stacjonarnego i krzywej zamknietej, cykle graniczne. Kryterium Bendixona -Dulaca, Twierdzenie Poincare-Bendixona o charakteryzacji zbiorów alfa- i omega-granicznych (bez dowodu), Twierdzenie Hopfa o bifurkacji cykli granicznych (z dokładnym szkicem dowodu i omówieniem), przykłady z zakresu ekologii matematycznej: modele konkurencji mutualizmu oraz drapieżnictwa (do wyboru). (5--6 wykładów)
Metody wariacyjne. Zagadnienie wariacyjne poszukiwania ekstremum funkcjonału określonego na przestrzeni funkcji jednej zmiennej z ustalonymi warunkami brzegowymi. Przykłady z mechaniki klasycznej optyki i geometrii (m.in. zagadnienie brachistochrony oraz powierzchni obrotowej o minimalnym polu powierzchni bocznej). Ekstrema funkcjonałów na przestrzeni funkcji jednokrotnie różniczkowalnych o ustalonych warunkach brzegowych. Lemat DuBois-Raymonda oraz wyprowadzenie równań Eulera-Lagrange'a. Funkcja Hamiltona i związek między lagranżjanem i hamiltonianem poprzez transformację Legendre'a. Podstawy mechaniki Lagrange'a wraz z przykładem ilustrującym. Teoria Weierstassa dotycząca warunków wystarczających istnienia minimum funkcjonału. Przykład brachistochrony. Zagadnienie izoperymetryczne i jego związek z zagadnieniem własnym dla operatora drugiego rzędu. Twierdzenie o mnożnikach Lagrange'a. Równania Eulera- Lagrange'a w przypadku zagadnienia wariacyjnego dla funkcji wielu zmiennych. Wyprowadzenie wariacyjne równania Poissona i równania drgań struny. (4--6 wykładów)