Logika matematyczna 1000-135LOM

Student:
1. zna podstawowe pojęcia związane ze składnią i semantyką logiki zdań. Zna twierdzenie o zwartości dla logiki zdań i potrafi podać przykład jego zastosowania. Potrafi udowodnić, że każda formuła jest logicznie równoważna formule w postaci koniunkcyjno-alternatywnej i alternatywno-koniunkcyjnej, a także znajdować postaci normalne dla zadanych formuł. Zna przynajmniej jeden przykład systemu dowodowego dla rachunku zdań i twierdzenie o pełności dla tego systemu;
2. zna definicję struktury relacyjnej (systemu relacyjnego) i definicje podstawowych operacji na strukturach relacyjnych. Umie zilustrować te definicje przykładami. Zna podstawowe pojęcia i twierdzenia teorii algebr Boole'a, w tym pojęcia filtru i ultrafiltru oraz twierdzenie Stone'a o reprezentacji algebr Boole'a jako ciał zbiorów;
3. zna podstawowe pojęcia związane ze składnią i semantyką logiki pierwszego rzędu, w tym pojęcia spełniania i prawdy. Rozumie, jakie klasy formuł zachowują wartość logiczną przy poszczególnych operacjach na strukturach. Zna typowe przykłady tautologii w logice pierwszego rzędu oraz twierdzenie o preneksowej postaci normalnej. Umie sprowadzać proste formuły do preneksowej postaci normalnej;
4. rozumie pojęcie definiowalnej (skończenie aksjomatyzowalnej) i aksjomatyzowalnej klasy struktur. Potrafi konstruować zdania mające określoną wartość logiczną w danych strukturach oraz zdania bądź zbiory zdań aksjomatyzujące określone klasy struktur. Zna pojęcie zbioru definiowalnego i potrafi konstruować formuły definiujące określone zbiory w danych strukturach. Potrafi dowodzić niedefiniowalności zbiorów za pomocą automorfizmów;
5. zna twierdzenie o zwartości dla logiki pierwszego rzędu;
6. zna pojęcie ultraproduktu, przykłady ultraproduktów i twierdzenie Łosia o spełnianiu w ultraproduktach;
7. Potrafi dowodzić nieaksjomatyzowalności klas struktur za pomocą twierdzenia o zwartości bądź twierdzenia Łosia. Zna twierdzenie Frayne'a, Morela i Scotta charakteryzujące klasy aksjomatyzowalne;
8. zna przykład systemu dowodowego dla logiki pierwszego rzędu i twierdzenie o pełności dla tego systemu;
9. zna pojęcie podstruktury elementarnej i twierdzenia Skolema-Löwenheima. Potrafi używać twierdzeń Skolema-Löwenheima do konstruowania struktur o zadanej z góry mocy i określonych własnościach logicznych.

1. Do egzaminu w pierwszym terminie dopuszczone zostaną osoby, które uzyskają co najmniej 50% punktów z zadań domowych.

2. Egzaminy odbywające się w sesji będą się składały z części pisemnej (dla wszystkich) oraz ustnej (dla niektórych; patrz p. 3).

3. W pojedynczych wypadkach wykładowca może zaproponować studentowi egzamin ustny, którego wynik może zmienić ocenę wynikającą z egzaminu pisemnego. Na dopuszczenie do egzaminu ustnego wpływ ma liczba punktów z zadań domowych oraz opinia z ćwiczeń. Należy zakładać, że liczba zaproszeń na egzamin ustny będzie niewielka, ale może ona istotnie wzrosnąć, jeśli egzamin pisemny będzie zdalny.

4. O egzamin w terminie zerowym mogą się ubiegać osoby, które w ocenie prowadzących zajęcia mieszczą się (pod względem punktów za zadania domowe, aktywności na ćwiczeniach, ew. aktywności na wykładzie) wśród czołowych 10% uczestników kursu. O możliwość przystąpienia do egzaminu zerowego można się starać począwszy od 13 stycznia 2025 r. Egzamin zerowy będzie wyłącznie ustny i będzie sprawdzał zarówno umiejętność rozwiązywania zadań, jak i znajomość teorii.

5. Ocena z przedmiotu wystawiana jest wyłącznie na podstawie egzaminu.

Z. Adamowicz, P. Zbierski, Logika matematyczna, PWN, Warszawa 1991.
J. Barwise, ed., Handbook of Mathematical Logic, North-Holland, Amsterdam 1978.
J.L. Bell, A.B. Slomson, Models and Ultraproducts: An Introduction, North-Holland, Amsterdam 1986.
R.C. Lyndon, O logice matematycznej, PWN, Warszawa 1978.

Więcej informacji o poziomie przedmiotu, roku studiów (i/lub semestrze) w którym się odbywa, o rodzaju i liczbie godzin zajęć - szukaj w planach studiów odpowiednich programów. Ten przedmiot jest związany z programami:

• Matematyka, stacjonarne, pierwszego stopnia
• Matematyka, stacjonarne, drugiego stopnia

Dodatkowe informacje (np. o kalendarzu rejestracji, prowadzących zajęcia, lokalizacji i terminach zajęć) mogą być dostępne w serwisie USOSweb:

• Strona przedmiotu 1000-135LOM w USOSweb