Równania różniczkowe zwyczajne z laboratorium 1000-114cRRZl

Pojęcie równania różniczkowego zwyczajnego i jego rozwiązania. Zagadnienie początkowe. Równania wyższych rzędów. Przykłady. Równanie o zmiennych rozdzielonych.
Skalarne równanie różniczkowe. Twierdzenie porównawcze i płynące z niego wnioski, jednoznaczność rozwiązań przy spełnieniu warunku Lipschitza oraz brak wybuchu rozwiązania przy sub-liniowym wzroście.
Interpretacja geometryczna równania różniczkowego. Pojęcie pola wektorowego, trajektorii i portretu fazowego.Równania w postaci różniczki zupełnej. Całki pierwsze.
Twierdzenie Picarda-Lindelöfa o lokalnym istnieniu i jednoznaczności rozwiązań. Lemat Gronwalla. Informacja o twierdzeniu Peano. Ciągła zależność rozwiązań od wartości początkowych. Rozwiązanie wysycone, przedłużalność rozwiązań.
Schematy różnicowe: jednokrokowe, wielokrokowe, Taylora oraz ich przykłady. Informacja o innych metodach. Klasyfikacja schematów pod kątem algorytmicznym (w tym: jawność schematu i metody predyktor-korektor).
Analiza błędu aproksymacji rozwiązań przez schematy jednokrokowe. Metody Rungego-Kutty, ich przykłady i własności Informacja o barierach Butchera.
Układy równań liniowych. Własności przestrzeni rozwiązań, wrońskian i twierdzenie Liouville'a.
Układy równań liniowych o stałych współczynnikach. Równania liniowe wyższych rzędów o stałych współczynnikach.
Wielomian charakterystyczny schematu liniowego wielokrokowego, warunki rzędu i zgodności; stabilność oraz silna stabilność. Metody Adamsa-Bashforta i Adamsa-Moultona, schematy BDF. Analiza błędu aproksymacji rozwiązań schematami liniowymi wielokrokowymi. Informacja o barierze Dahlquista.
Gładka zależność rozwiązań od wartości początkowych i parametrów.
Równania różniczkowe autonomiczne i potoki wyznaczone przez nie. Twierdzenie o prostowaniu. Klasyfikacja potoków równania liniowego na płaszczyźnie.
Stabilność punktu stacjonarnego w sensie Lapunowa i stabilność asymptotyczna. Lokalna stabilność punktu stacjonarnego. Twierdzenie Grobmana-Hartmana (idea dowodu).
Sztywność i schematy niejawne. Obszar absolutnej stabilności schematów liniowych wielokrokowych, przykłady. Informacja o II barierze Dahlquista.
W ramach laboratorium:
1. Przykłady użycia pakietu
  1. obliczeń symbolicznych
  2. obliczeń numerycznych
  3. narzędzi sztucznej inteligencji
  do rozwiązywania lub aproksymacji rozwiązań równań różniczkowych zwyczajnych.
2. Ilustracja i pogłębienie zrozumienia treści omawianych na wykładach.
Przykłady z nauk pokrewnych (sugerowana realizacja tych tematów na ćwiczeniach lub laboratorium):
1. Model drapieżnik-ofiara (Lotka-Volterra).
2. Ruch w polu siły centralnej, prawa zachowania. Schematy symplektyczne.
3. Równanie harmoniczne i opis drgań z tarciem i bez. Zjawisko rezonansu.

Koordynatorzy przedmiotu

Piotr Kowalczyk

Rodzaj przedmiotu

obowiązkowe

Założenia (opisowo)

Oczekuje się dobrej znajomości zagadnień ujętych w sylabusach przedmiotów: Analiza matematyczna I.2, Analiza matematyczna II.1, Geometria z algebrą liniową oraz Algorytmika i programowanie w Pythonie.

Efekty kształcenia

1. Zna pojęcia równania różniczkowego, zagadnienia początkowego i rozwiązania zagadnienia początkowego. Umie sprawdzić, czy dana funkcja jest rozwiązaniem równania różniczkowego lub zagadnienia początkowego.
2. Umie rozwiązywać równania różniczkowe: o zmiennych rozdzielonych, równania jednorodne, Bernoulliego. Zna warunki dostateczne istnienia jednoznacznego rozwiązania równania różniczkowego zwyczajnego z zadanym warunkiem początkowym.
3. Zna twierdzenie o przedłużaniu rozwiązań równania różniczkowego zwyczajnego oraz umie podać przykład zagadnienia początkowego, którego rozwiązania nie da się przedłużyć poza pewien skończony odcinek.
4. Zna twierdzenie o ciągłej i gładkiej zależności rozwiązania równania różniczkowego zwyczajnego od warunków początkowych i parametrów.
5. Umie rozwiązywać skalarne liniowe równania pierwszego rzędu i układy liniowych o stałych współczynnikach. Umie znaleźć macierz fundamentalną układu równań liniowych.
6. Umie sprowadzić równanie różniczkowe wyższego rzędu do układu równań różniczkowych rzędu pierwszego.
7. Wie co to jest pole wektorowe i potok pola wektorowego. Zna pojęcie całki pierwszej i umie je zastosować.
8. Wie co to jest punkt stacjonarny i zna definicję stabilności asymptotycznej punktu stacjonarnego i stabilności w sensie Lapunowa. Umie zbadać stabilność punktu stacjonarnego.
9. Zna przykłady zastosowań równań różniczkowych zwyczajnych w różnych dziedzinach wiedzy. Rozumie znaczenie równań różniczkowych zwyczajnych jako narzędzia służącego do formułowania praw przyrody oraz do badania ewolucji układów opisywanych skończoną liczbą parametrów.
10.Zna i umie analizować metody aproksymacji rozwiązań równań różniczkowych zwyczajnych.
11.Umie wspomagać się narzędziami komputerowymi przy znajdowaniu rozwiązań lub badaniu równań różniczkowych zwyczajnych i zdaje sobie sprawę z ograniczeń tych narzędzi.

Kryteria oceniania

Zaliczenie na podstawie kolokwium, prac domowych, aktywności na zajęciach, projektów komputerowych.
Egzamin pisemny i w wyjątkowych przypadkach ustny.
Ocena końcowa na podstawie punktów z kolokwium, ćwiczeń, laboratorium i egzaminu.

Literatura

A. Palczewski "Równania różniczkowe zwyczajne", PWN 2017
E. Hairer, S. P. Norsett, G. Wanner "Solving Ordinary Differential Equations", Springer
D. Griffiths, D. Higham "Numerical Methods for Ordinary Differential Equations", Springer
V. I. Arnold, "Równania różniczkowe zwyczajne", PWN 1975
F. Przytycki, "Równania różniczkowe zwyczajne", skrypt, https://www.impan.pl/~feliksp/skrypt.pdf
M. Braun, "Differential Equations and Their Applications", Springer 1993
K. Maurin, "Analiza" (wybrane rozdziały), PWN 2010
M. Viana, J.M. Espinar, "Differential Equations: A Dynamical Systems Approach to Theory and Practice", AMS 2021