Równania różniczkowe zwyczajne 1000-114cRRZ
1. Pojęcie równania różniczkowego zwyczajnego i jego rozwiązania. Zagadnienie początkowe. Równania wyższych rzędów. Przykłady. Równanie o zmiennych rozdzielonych.
2. Skalarne równanie różniczkowe. Twierdzenie porównawcze i płynące z niego wnioski, jednoznaczność rozwiązań przy spełnieniu warunku Lipschitza oraz brak wybuchu rozwiązania przy sub-liniowym wzroście.
3. Interpretacja geometryczna równania różniczkowego. Pojęcie pola wektorowego, trajektorii i portretu fazowego.Równania w postaci różniczki zupełnej. Całki pierwsze.
4. Twierdzenie Picarda-Lindelöfa o lokalnym istnieniu i jednoznaczności rozwiązań. Lemat Gronwalla. Informacja o twierdzeniu Peano. Ciągła zależność rozwiązań od wartości początkowych. Rozwiązanie wysycone, przedłużalność rozwiązań.
5. Układy równań liniowych. Własności przestrzeni rozwiązań, wrońskian i twierdzenie Liouville'a.
6. Układy równań liniowych o stałych współczynnikach. Równania liniowe wyższych rzędów o stałych współczynnikach.
7. Krzywe płaskie i ich krzywizna zorientowana. Reper Freneta i układ równań Freneta. Funkcja krzywizny jako równanie naturalne krzywej. Przykłady: cykloida i spirala Archimedesa. Potok krzywizny średniej na płaszczyźnie w przypadku koła.
8. Gładka zależność rozwiązań od wartości początkowych i parametrów.
9. Równania różniczkowe autonomiczne i potoki wyznaczone przez nie. Twierdzenie o prostowaniu. Klasyfikacja potoków równania liniowego na płaszczyźnie. Transport miary przez potok i równanie ciągłości.
10.Stabilność punktu stacjonarnego w sensie Lapunowa i stabilność asymptotyczna. Lokalna stabilność punktu stacjonarnego. Twierdzenie Grobmana-Hartmana (idea dowodu).
11.Zbiory graniczne i twierdzenie LaSalle’a. Twierdzenie Dulaca-Bendixsona. Potoki gradientowe.
12.Równania różniczkowe cząstkowe pierwszego rzędu półliniowe, rozwiązywanie ich za pomocą metody charakterystyk, katastrofa gradientowa.
13.Całkowe zagadnienie wariacyjne, równanie Eulera-Lagrange’a. Równania Newtona jako przykład równań Eulera-Lagrange’a. Całki pierwsze jako konsekwencja niezależności lagrangianu od współrzędnej (współrzędne cykliczne).
14.Przykłady z nauk pokrewnych (sugerowana realizacja tych tematów na ćwiczeniach):
a. Model drapieżnik-ofiara (Lotka-Volterra).
b. Brachistochrona, krzywa łańcuchowa.
c. Ruch w polu siły centralnej, prawa Keplera.
d. Równanie harmoniczne i opis drgań z tarciem i bez. Zjawisko rezonansu.
Kierunek podstawowy MISMaP
Koordynatorzy przedmiotu
Rodzaj przedmiotu
Założenia (opisowo)
Efekty kształcenia
1. Zna pojęcia równania różniczkowego, zagadnienia początkowego i rozwiązania zagadnienia początkowego. Umie sprawdzić, czy dana funkcja jest rozwiązaniem równania różniczkowego lub zagadnienia początkowego.
2. Umie rozwiązywać równania różniczkowe: o zmiennych rozdzielonych, równania jednorodne, Bernoulliego. Zna warunki dostateczne istnienia jednoznacznego rozwiązania równania różniczkowego zwyczajnego z zadanym warunkiem początkowym.
3. Zna twierdzenie o przedłużaniu rozwiązań równania różniczkowego zwyczajnego oraz umie podać przykład zagadnienia początkowego, którego rozwiązania nie da się przedłużyć poza pewien skończony odcinek.
4. Zna twierdzenie o ciągłej i gładkiej zależności rozwiązania równania różniczkowego zwyczajnego od warunków początkowych i parametrów.
5. Umie rozwiązywać skalarne liniowe równania pierwszego rzędu i układy liniowych o stałych współczynnikach. Umie znaleźć macierz fundamentalną układu równań liniowych.
6. Umie sprowadzić równanie różniczkowe wyższego rzędu do układu równań różniczkowych rzędu pierwszego.
7. Wie co to jest pole wektorowe i potok pola wektorowego. Zna pojęcie całki pierwszej i umie je zastosować.
8. Wie co to jest punkt stacjonarny i zna definicję stabilności asymptotycznej punktu stacjonarnego i stabilności w sensie Lapunowa. Umie zbadać stabilność punktu stacjonarnego.
9. Zna przykłady zastosowań równań różniczkowych zwyczajnych w różnych dziedzinach wiedzy. Rozumie znaczenie równań różniczkowych zwyczajnych jako narzędzia służącego do formułowania praw przyrody oraz do badania ewolucji układów opisywanych skończoną liczbą parametrów.
Literatura
A. Palczewski "Równania różniczkowe zwyczajne", PWN 2017
V. I. Arnold, "Równania różniczkowe zwyczajne", PWN 1975
F. Przytycki, "Równania różniczkowe zwyczajne", skrypt, https://www.impan.pl/~feliksp/skrypt.pdf
M. Braun, "Differential Equations and Their Applications", Springer 1993
K. Maurin, "Analiza" (wybrane rozdziały), PWN 2010
M. Viana, J.M. Espinar, "Differential Equations: A Dynamical Systems Approach to Theory and Practice", AMS 2021