Analiza matematyczna II.2 1000-114cAM4
Przestrzeń funkcji całkowalnych i jej zupełność, splot.
Jedynka aproksymacyjna i technika wygładzania przez splot. Aproksymacja funkcji całkowalnych funkcjami gładkimi.
Miara powierzchniowa na podrozmaitościach Rn: przykład Schwarza, wyznacznik Grama, definicja. Parametryczny opis rozmaitości, twierdzenie o rzędzie. Niezależność miary powierzchniowej od wyboru parametryzacji
Wzór Cauchy’ego-Bineta i jego zastosowania. Miara kuli i sfery w Rn.
Całkowanie względem miary powierzchniowej. Twierdzenie o otoczeniu kołnierzykowym.
Orientacja krzywej, definicja 1-formy różniczkowej. Całkowanie 1-form po krzywych: definicja, przykłady, interpretacja fizyczna.
Wzór Greena. Gładki rozkład jedności.
Kiedy pole wektorowe jest gradientem funkcji? Rotacja i dywergencja pola wektorowego. Laplasjan.
Twierdzenie Gaussa o dywergencji, wzór Stokesa w R3; zastosowania. Informacja o twierdzeniu Stokesa w Rn.
Szeregi trygonometryczne, współczynniki Fouriera funkcji. Współczynniki dla funkcji z L1, lemat Riemanna-Lebesgue’a. Jądro Dirichleta. Zasada lokalizacji.
Kryteria zbieżności punktowej (Diniego, Lipschitza, Dirichleta). Współczynniki Fouriera pochodnych.
Szeregi Fouriera dla funkcji z L2, nierówność Bessela i tożsamość Parsevala; przykłady zastosowań. Zbieżność szeregów Fouriera funkcji ciągłych: twierdzenie Fejera, informacyjnie: przykłady du Bois-Reymonda, Kołmogorowa, tw. Carlesona.
Kierunek podstawowy MISMaP
matematyka
Koordynatorzy przedmiotu
Rodzaj przedmiotu
Założenia (opisowo)
Efekty kształcenia
Efekty uczenia się:
Potrafi obliczać całki funkcji dwóch i więcej zmiennych, stosując twierdzenia o zamianie kolejności całkowania i o całkowaniu przez podstawienie.
Zna definicję miary powierzchniowej na rozmaitości gładkiej i własności tej miary. Potrafi obliczać pole powierzchni wykresu funkcji dwóch zmiennych oraz powierzchni opisanej parametrycznie.
Zna pojęcie 1-formy różniczkowej i potrafi obliczyć całkę z 1-formy po krzywej. Zna twierdzenie Greena, twierdzenie Gaussa-Ostrogradskiego o dywergencji i klasyczne twierdzenie Stokesa. Stosuje wzory Greena i Gaussa- Ostrogradskiego w różnych zadaniach.
Zna pojęcie szeregu Fouriera funkcji całkowalnej i podstawowe jego własności (lemat Riemanna-Lebesgue’a, zasada lokalizacji). Zna i stosuje w zadaniach kryteria zbieżności punktowej szeregów Fouriera i tożsamość Parsevala dla funkcji całkowalnych z kwadratem.
Literatura
A. Birkholc, Analiza matematyczna: Funkcje wielu zmiennych. Wydanie II, PWN, Warszawa 2018.
G. M. Fichtenholz, Rachunek różniczkowy i całkowy. Tom 1-3, PWN, Warszawa 2007.
W. Kołodziej, Analiza matematyczna, PWN, Warszawa 2009.
W. Rudin, Podstawy analizy matematycznej, PWN, Warszawa 2009.
W. Rudin, Analiza rzeczywista i zespolona, PWN, Warszawa 2009.
L. Schwartz, Kurs analizy matematycznej. Tom 1-2, PWN, Warszawa 1979.
M. Spivak, Analiza na rozmaitościach, PWN, Warszawa 2006.
P. Strzelecki, Analiza matematyczna II (skrypt wykładu),
http://dydmat.mimuw.edu.pl/sites/default/files/wyklady/analiza-matamatyczna-ii.pdf
E. M. Stein, R. Shakarchi, Fourier analysis: An introduction, Princeton University Press, Princeton 2003.
T. W. Körner, Fourier analysis. Second edition, Cambridge University Press, Cambridge 1989.