Równania różniczkowe zwyczajne 1000-114bRRZa
1. Pojęcie równania różniczkowego zwyczajnego i jego rozwiązania. Zagadnienie początkowe. Równania wyższych rzędów. Przykłady.
2. Metody rozwiązywania równania skalarnego: równanie o zmiennych rozdzielonych, równanie jednorodne i quasijednorodne, równanie liniowe i Bernoulliego, całka pierwsza i czynnik całkujący.
3. Twierdzenie Picarda-Lindelöfa o lokalnym istnieniu i jednoznaczności rozwiązań. Lemat Gronwalla. Ciągła i gładka zależność rozwiązań od wartości początkowych i parametrów. Twierdzenia o prostowaniu i przedłużaniu rozwiązań.
4. Układy równań liniowych. Własności przestrzeni rozwiązań, wrońskian i twierdzenie Liouville'a. Układy równań liniowych o stałych współczynnikach. Równania liniowe wyższych rzędów o stałych współczynnikach. Oscylator harmoniczny z tłumieniem i wymuszeniem.
5. Równania różniczkowe autonomiczne i potoki wyznaczone przez nie. Pole wektorowe. Stabilność punktu stacjonarnego w sensie Lapunowa i stabilność asymptotyczna. Portret fazowy. Portrety fazowe równań liniowych na płaszczyźnie. Wahadło matematyczne. Równanie logistyczne i układ drapieżnik-ofiara Lotki-Volterry.
6. Elementy mechaniki klasycznej. Równanie Newtona z jednym stopniem swobody. Ruch w centralnym polu sił. Prawa Keplera.
Kierunek podstawowy MISMaP
Koordynatorzy przedmiotu
Rodzaj przedmiotu
Założenia (opisowo)
Efekty kształcenia
1. Zna pojęcia równania różniczkowego, zagadnienia początkowego i rozwiązania zagadnienia początkowego. Umie sprawdzić, czy dana funkcja jest rozwiązaniem równania różniczkowego lub zagadnienia początkowego.
2. Umie rozwiązywać równania różniczkowe: o zmiennych rozdzielonych, równania jednorodne, Bernoulliego. Zna warunki dostateczne istnienia jednoznacznego rozwiązania równania różniczkowego zwyczajnego z zadanym warunkiem początkowym.
3. Zna twierdzenie o przedłużaniu rozwiązań równania różniczkowego zwyczajnego oraz umie podać przykład zagadnienia początkowego, którego rozwiązania nie da się przedłużyć poza pewien skończony odcinek.
4. Umie rozwiązać liniowe równanie różniczkowe zwyczajne i układ liniowych równań różniczkowych zwyczajnych. Umie znaleźć macierz fundamentalną układu równań liniowych.
5. Umie sprowadzić równanie różniczkowe wyższego rzędu do układu równań różniczkowych rzędu pierwszego.
6. Wie co to jest pole wektorowe i potok pola wektorowego.
7. Wie co to jest punkt stacjonarny i zna definicję stabilności asymptotycznej punktu stacjonarnego i stabilności w sensie Lapunowa. Umie zbadać stabilność punktu stacjonarnego.
8. Zna przykłady zastosowań równań różniczkowych zwyczajnych w różnych dziedzinach wiedzy. Rozumie znaczenie równań różniczkowych zwyczajnych jako narzędzia służącego do formułowania praw przyrody oraz do badania ewolucji układów opisywanych skończoną liczbą parametrów.
Literatura
1. V. I. Arnold, Równania różniczkowe zwyczajne, PWN, Warszawa 1975.
2. N. M. Matwiejew, Metody całkowania równań różniczkowych zwyczajnych, PWN, Warszawa 1986.
3. J. Ombach, Wykłady z równań różniczkowych zwyczajnych, Wydawnictwo Uniwersytetu Jagiellońskiego, Kraków 1999.
4. A. Palczewski, Równania różniczkowe zwyczajne, PWN, Warszawa 2004.
5. A. Pelczar, J. Szarski, Wstęp do teorii równań różniczkowych, część 1, PWN, Warszawa 1987.
6. F. Przytycki, Równania różniczkowe zwyczajne, skrypt, https://www.impan.pl/~feliksp/skrypt.pdf.
Więcej informacji
Więcej informacji o poziomie przedmiotu, roku studiów (i/lub semestrze) w którym się odbywa, o rodzaju i liczbie godzin zajęć - szukaj w planach studiów odpowiednich programów. Ten przedmiot jest związany z programami: