Równania różniczkowe zwyczajne z laboratorium 1000-114bRRZIb
Równanie różniczkowe i jego rozwiązania, równania pierwszego i wyższych rzędów, układy rzędu l, sprowadzanie równań wyższych rzędów do układu rzędu l, pole kierunków, proste typy równań dających rozwiązywać się analitycznie.
Proste schematy numeryczne: jedno i wielokrokowe, otwarte i zamknięte. Metody typu Taylora, tryb prognoza-poprawka, obliczanie rzędu. Metody typu Rungego-Kutty otwarte i zamknięte, związek rzędu i liczby stopni.
Lokalne twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności; przedłużanie rozwiązań. Zależność rozwiązania od parametru i warunku początkowego, różniczkowalność względem parametru. Twierdzenie o prostowaniu.
Układy równań liniowych, przestrzeń rozwiązań i baza. Macierz fundamentalna, Wrońskian, twierdzenie Liouville'a; układy o stałych współczynnikach. Macierz wykładnicza, układy niejednorodne. Równania liniowe wyższych rzędów o stałych współczynnikach.
Równanie różnicowe i jego rozwiązanie, równanie różnicowe liniowe o stałych współczynnikach jednorodne i niejednorodne. Pojęcie zbieżności, teoria zbieżności schematów jednokrokowych. Zgodność schematu. Twierdzenie o zbieżności. Schematy wielokrokowe; pojęcie stabilności i silnej stabilności.
Stabilność rozwiązań w sensie Lapunowa, funkcja Lapunowa. Jakościowa analiza rozwiązań: klasyfikacja krzywych fazowych układu autonomicznego, punkty osobliwe układu liniowego na płaszczyźnie. Klasyfikacja i punkty osobliwe układów nieliniowych, całka pierwsza.
Stabilność absolutna, obszar stabilności absolutnej. Pojęcie sztywności, przykład układu sztywnego, współczynnik sztywności.
Praca z komputerem: pakiet do obliczeń symbolicznych i numerycznych (w ramach laboratorium). W trakcie wykładu będą przedstawiane przykłady zastosowań omawianej teorii.
Koordynatorzy przedmiotu
Rodzaj przedmiotu
Założenia (opisowo)
Efekty kształcenia
Wiedza i umiejętności:
- Wie co to jest równanie różniczkowe, zagadnienie początkowe i co to jest rozwiązanie zagadnienia początkowego, umie sprawdzić, czy dana funkcja jest rozwiązaniem równania różniczkowego lub zagadnienia początkowego;
- Umie rozwiązywać równania różniczkowe: o zmiennych rozdzielonych, równania jednorodne, Bernouliego;
- Zna warunki dostateczne istnienia jednoznacznego rozwiązania równania różniczkowego zwyczajnego z zadanym warunkiem początkowym;
- Umie podać przykład zagadnienia początkowego, które posiada nieskończenie wiele rozwiązań;
- Zna twierdzenie o przedłużaniu rozwiązań równania różniczkowego zwyczajnego oraz umie podać przykład zagadnienia początkowego, którego rozwiązania nie da się przedłużyć poza pewien skończony odcinek;
- Umie rozwiązać liniowe równanie różniczkowe zwyczajne i układ liniowych równań różniczkowych zwyczajnych;
- Umie sprowadzić równanie różniczkowe wyższego rzędu do układu równań różniczkowych rzędu pierwszego;
- Umie znaleźć macierz fundamentalną układu równań liniowych;
- Wie co to jest pole wektorowe;
- Wie co to jest punkt stacjonarny i zna definicję stabilności asymptotycznej punktu stacjonarnego i stabilności w sensie Lapunova;
- Umie zbadać stabilność punktu stacjonarnego;
- Zna przykłady zastosowań równań różniczkowych zwyczajnych w różnych dziedzinach wiedzy;
- Umie posługiwać się pakietami do obliczeń symbolicznych i numerycznych przy znajdowaniu analitycznych lub numerycznych rozwiązań równań różniczkowych zwyczajnych.
Kompetencje społeczne:
- Rozumie znaczenie równań różniczkowych zwyczajnych jako narzędzia służącego do formułowania praw przyrody.
Kryteria oceniania
Zaliczenie na podstawie kolokwium, prac domowych, aktywności na zajęciach, projektów komputerowych.
Egzamin pisemny i w wyjątkowych przypadkach ustny.
Ocena końcowa na podstawie punktów z kolokwium, ćwiczeń, laboratorium i egzaminu.
Literatura
1. A. Palczewski "Równania różniczkowe zwyczajne", WNT
2. E. Hairer, S. P. Norsett, G. Wanner "Solving Ordinary Differential Equations", Springer
3. J. Ombach, Wykłady z równań różniczkowych zwyczajnych, Wydawnictwo Uniwersytetu Jagiellońskiego, Kraków 1999.