Analiza matematyczna II.1 (potok *) 1000-113bAM3*
Rachunek różniczkowy wielu zmiennych
1. Struktura liniowa i topologiczna przestrzeni R^n. Odwzorowania liniowe w R^n i ich własności: różnowartościowość, otwartość zbioru odwzorowań odwracalnych. (1 wykład)
2. Odwzorowania R^n w R^n, ciągłość, różniczkowalność odwzorowań, pochodna odwzorowania, pochodne kierunkowe i cząstkowe. Związek pochodnej z pochodnymi kierunkowymi. Pochodna superpozycji odwzorowań. Tw. o wartości średniej dla funkcji wielu zmiennych i odwzorowań. (4 wykłady)
3. Pochodne wyższych rzędów. Tw. Schwarza o równości pochodnych mieszanych. Wzór Taylora. Zastosowania: ekstrema funkcji wielu zmiennych. (2 wykłady)
4. Tw. o funkcji odwrotnej. Tw. o funkcji uwikłanej. Przykłady. (3 wykłady)
5. Ekstrema warunkowe (związane), metoda mnożników Lagrange'a. Przykłady. (2 wykłady)
Teoria miary i całki
1. Sigma-ciała: definicja, własności. Sigma-ciało zbiorów borelowskich. Definicja miary, przestrzeń z miarą, własności miary. Miara zewnętrzna, tw. Caratheodory'ego. (2 wykłady)
2. Konstrukcja miary Lebesgue'a na R^n, własności. Funkcje mierzalne: definicja, własności, funkcje proste. Funkcja mierzalna jako granica niemalejącego ciągu funkcji prostych. (2 wykłady)
3. Konstrukcja całki Lebesgue'a, własności: tw. Lebesgue'a o monotonicznym przejściu do granicy, całka sumy funkcji, lemat Fatou, tw. Lebesgue'a o zmajoryzowanym przejściu do granicy. Aproksymacja całki Lebesgue'a sumami Riemanna. (3 wykłady)
4. Funkcje o wahaniu skończonym. Calka Stieltjesa. (1 wykład)
5. Produktowanie miar. Sigma-ciała produktowe, skończony produkt miar. Tw. Fubiniego. Przykłady zastosowań. Tw. o całkowaniu przez podstawienie. (4 wykłady)
6. Miary absolutnie ciągłe i osobliwe. Twierdzenie Radona-Nikodyma. (2 wykłady)
Kierunek podstawowy MISMaP
matematyka
Rodzaj przedmiotu
Założenia (opisowo)
Koordynatorzy przedmiotu
W cyklu 2024Z: | W cyklu 2023Z: |
Efekty kształcenia
1. Zna pojęcia pochodnej kierunkowej, pochodnej cząstkowej, różniczki zupełnej (pochodnej odwzorowania) i macierzy Jacobiego odwzorowania; rozumie związki między tymi pojęciami i zna ich najważniejsze własności algebraiczne i analityczne. Potrafi badać ciągłość i różniczkowalność funkcji wielu zmiennych. Operuje przykładami, ilustrującymi związki między pochodnymi cząstkowymi i pochodną odwzorowania. W przykładach potrafi badać różniczkowalność odwzorowań określonych na przestrzeniach nieskończonego wymiaru.
2. Zna twierdzenie Schwarza o symetrii drugiej różniczki i wzór Taylora oraz warunki dostateczne ekstremów lokalnych funkcji wielu zmiennych. Potrafi wyznaczać kresy funkcji, określonych na różnych podzbiorach przestrzeni euklidesowej. Potrafi określać charakter punktu krytycznego funkcji klasy C^2.
3. Zna twierdzenia o funkcji odwrotnej i funkcji uwikłanej oraz pojęcie rozmaitości zanurzonej i pojęcie dyfeomorfizmu.
4. Potrafi opisać jawnymi wzorami dyfeomorfizm między nieskomplikowanymi podzbiorami płaszczyzny (przestrzeni trójwymiarowej). Rozpoznaje przykłady rozmaitości zanurzonych; potrafi uzasadnić, że zbiór opisany konkretnymi równaniami jest (lub nie jest) rozmaitością.
5. Zna metodę mnożników Lagrange'a. Wyznacza ekstrema lokalne związane funkcji wielu zmiennych rzeczywistych.
6. Zna podstawowe pojęcia teorii miary i całki, w tym twierdzenia Lebesgue'a o zbieżności monotonicznej i zmajoryzowanej, twierdzenie o zmianie kolejności całkowania i o całkowaniu przez podstawienie. Posługuje się twierdzeniami o zbieżności zmajoryzowanych i zbieżności monotonicznej (a) do badania granic całek, zależnych od parameteru, (b) badając ciągłość i różniczkowalność funkcji określonych za pomocą całek zależnych od parametru. Potrafi podać przykłady, świadczące o istotności założeń w tych twierdzeniach.
7. Zna i potrafi zastosować twierdzenie Sarda.
8. Rozumie różnice pomiędzy teorią całki Riemanna oraz całki Lebesgue'a; potrafi wykazać zupełność różnych przestrzeni funkcyjnych z daną normą całkową.
Kryteria oceniania
Dwa kolokwia, egzamin pisemny oraz punkty za aktywność na ćwiczeniach. Egzamin ustny w sytuacjach niejednoznacznych.
Zaproponowaną ocenę można poprawiać na egzaminie ustnym.
Literatura
A. Birkholc, Analiza matematyczna. Funkcje wielu zmiennych. PWN, Warszawa 2002.
B.P. Demidowicz, Zbiór zadań z analizy matematycznej, Naukowa Książka, Lublin 1992 (t. I) i 1993 (t. II i III).
G.M. Fichtenholz, Rachunek różniczkowy i całkowy. Tom I--III, PWN, Warszawa 1999
W. Pusz, A. Strasburger, Zbiór zadań z analizy matematycznej Wydział Fizyki UW, Warszawa 1982.
W. Rudin, Analiza rzeczywista i zespolona, PWN, Warszawa 1998.
R. Sikorski, Rachunek różniczkowy i całkowy, funkcje wielu zmiennych . Bibl. Matem. 28, wyd. IV rozsz., PWN, Warszawa 1977
M. Spivak, Analiza na rozmaitościach, PWN, Warszawa 1977.
Więcej informacji
Dodatkowe informacje (np. o kalendarzu rejestracji, prowadzących zajęcia, lokalizacji i terminach zajęć) mogą być dostępne w serwisie USOSweb: