Geometria z algebrą liniową II (potok II) 1000-112bGA2b
1. Endomorfizmy przestrzeni liniowych. Macierz endomorfizmu w bazie, zależność od bazy, macierze podobne (B = C^(-1)AC). Wyznacznik i ślad endomorfizmu. Wektory, podprzestrzenie i wartości własne. Wielomian charakterystyczny. Macierze diagonalne, endomorfizmy i macierze diagonalizowalne, kryteria diagonalizowalności. Twierdzenie Jordana o postaci kanonicznej macierzy endomorfizmu (bez dowodu). (5 wykładów).
2. Przestrzenie afiniczne w przestrzeniach liniowych - warstwy podprzestrzeni liniowych. Kombinacje afiniczne. Układy afinicznie niezależne, bazy punktowe. Współrzędne w bazie punktowej. Układy bazowe przestrzeni afinicznych (punkt i baza przestrzeni stycznej), parametryzacje. Przekształcenia afiniczne, odpowiadające im przekształcenia liniowe. Macierze przekształceń afinicznych (w układach bazowych). Izomorfizmy przestrzeni afinicznych. Każda n-wymiarowa przestrzeń afiniczna nad K jest izomorficzna z przestrzenią afiniczną K^n. Aksjomatyczna definicja przestrzeni afinicznej. (4 wykłady).
3. Iloczyny skalarne. Nierówność Schwarza. Przestrzenie euklidesowe liniowe. Dopełnienie prostopadłe podprzestrzeni. Rzuty i symetrie prostopadłe. Bazy prostopadłe (ortogonalne) i ortonormalne, współrzędne wektora w takich bazach. Ortogonalizacja Grama-Schmidta. Kryterium Sylvestera dodatniej określoności. Macierz Grama i jej własności (4 wykłady).
4. Przestrzenie euklidesowe afiniczne. Odległość punktów w przestrzeniach euklidesowych, odległość punktu od podprzestrzeni. Miary w przestrzeniach euklidesowych, objętości równoległościanów i sympleksów. Kąty. Orientacja. Iloczyn wektorowy. (2 wykłady).
5. Przekształcenia przestrzeni euklidesowych zachowujące iloczyn skalarny, izomorfizmy przestrzeni euklidesowych. Macierze ortogonalne. Izometrie. Przekształcenia samosprzężone. Diagonalizacja symetrycznych macierzy rzeczywistych za pomocą macierzy ortogonalnych. (4 wykłady).
6. Iloczyny hermitowskie. Izomorfizmy przestrzeni z formą hermitowską, macierze unitarne. (1 wykład).
7. Formy dwuliniowe, formy symetryczne. Macierz formy dwuliniowej w bazie, zależność od bazy, kongruencja macierzy (B = C^T AC, dla odwracalnej macierzy C). Formy nieosobliwe. Dopełnienie otrogonalne podprzestrzeni z formą nieosobliwą. Bazy prostopadłe. Każda skończenie wymiarowa przestrzeń z formą dwuliniową symetryczną nad ciałem charakterystyki różnej od 2 ma bazę prostopałą. Twierdzenie Sylvestera o bezwładności. Klasy kongruencji macierzy symetrycznych nad R i C. Formy kwadratowe i metody ich diagonalizacji. (4 wykłady).
8. Wielomiany i funkcje wielomianowe n zmiennych. Funkcje wielomianowe na przestrzeniach afinicznych. Zbiory algebraiczne, hiperpowierzchnie, stopień hiperpowierzchni. Hiperpowierzchnie afinicznie izomorficzne. Nad ciałem nieskończonym K charakterystyki różnej od 2, każdą hiperpowierzchnię stopnia 2 w K^n można opisać, w pewnym układzie bazowym, równaniem odpowiedniej postaci z r lub r+1 zmiennymi dla r
Rodzaj przedmiotu
Efekty kształcenia
1. Zna pojęcie wielomianu charakterystycznego macierzy i endomorfizmu, Umie znaleźć wartości własne endomorfizmu i opisać wektory własne. Umie znaleźć postać Jordana macierzy małych rozmiarów.
2. Zna pojęcie macierzy podobnych i umie w prostych przypadkach rozstrzygnąć czy macierze są podobne.
3. Zna pojęcia przestrzeni afinicznej i przekształcenia afinicznego. Zna pojęcie bazy punktowej i umie wyliczać współrzędne barycentryczne punktu.
4. Wie co to są formy dwuliniowe. Umie zbadać kiedy są symetryczne antysymetryczne lub nieosobliwe. Potrafi opisać formę macierzą w zadanej bazie. Potrafi znaleźć bazę prostopadłą. Potrafi rozstrzygnąć czy macierze Grama są kongruentne nad ciałami R i C.
5. Zna pojęcie iloczynu skalarnego. Umie zbadać, kiedy forma dwuliniowa jest iloczynem skalarnym. Zna własności normy wektora.
6. Umie obliczać miary równoległościanów i sympleksów w przestrzeniach euklidesowych afinicznych. Umie obliczać odległości między podprzestrzeniami.
7. Zna pojęcie izometrii liniowej i afinicznej. Umie opisać izometrie zachowujące dany zbiór podprzestrzeni.
8. Wie co to są przekształcenia samosprzężone. Umie zdiagonalizować macierz symetryczną nad R.
9. Wie co to są zbiory algebraiczne. Potrafi wielomian opisujący zbiór algebraiczny doprowadzić do postaci kanonicznej. Zna klasyfikację afiniczną hiperpowierzchni stopnia 2 w C^n i w R^n.
Kryteria oceniania
Ocena z przedmiotu będzie wystawiona w oparciu o punkty, które będzie można uzyskać w następujący sposób:
a) 200 punktów za kolokwia - będą dwa kolokwia w semestrze (wspólne dla obu potoków) po 100 punktów każde.
b) 60 punktów za ćwiczenia, w tym najmniej 40 tych punktów jest zarezerwowane (w proporcji do liczby poprawnych rozwiązań) za pisemne zadania domowe. Powinno być 10 serii pisemnych prac domowych (co najwyżej 5 zadań w każdej. Do zaliczenie potrzeba 50 % możliwych do zdobycia punktów (tj. 130, być może nieco mniej). W trybie poprawkowym punkty z kolokwiów i ćwiczeń w dalszym ciągu będą sie liczyły.
c) 200 punktów za egzamin pisemny. Osoby, które łącznie uzyskają wymagany próg punktowy (50 % możliwych do zdobycia punktów, być może nieco mniej) będą dopuszczone do obowiązkowego egzaminu ustnego, po którym wystawiona zostanie ocena. W trybie poprawkowym we wrześniu odbędzie sie egzamin pisemny i ustny, z tym ze punkty będą sie sumowały jak pierwszym terminie (tzn. punkty z kolokwiów i ćwiczeń w dalszym ciągu będą sie liczyły).
Literatura
G. Banaszak, W. Gajda, Elementy algebry liniowej
A. Białynicki-Birula, Algebra liniowa z geometrią
T. Koźniewski, Wykłady z algebry liniowej
M. Moszyńska, J. Święcicka, Geometria z algebrą liniową
K. Sieklucki, Geometria i topologia
Więcej informacji
Dodatkowe informacje (np. o kalendarzu rejestracji, prowadzących zajęcia, lokalizacji i terminach zajęć) mogą być dostępne w serwisie USOSweb: