Analiza matematyczna I.2 (potok I) 1000-112aAM2a

Szeregi liczbowe o wyrazach rzeczywistych, pojęcie szeregu zbieżnego. Szereg geometryczny i rozwijanie liczb rzeczywistych przy różnych podstawach (dwuznaczność). Warunek Cauchy'ego. Szeregi o wyrazach dodatnich, kryterium porównawcze, kryterium Cauchy'ego o zagęszczaniu, kryterium ilorazowe d'Alemberta,
kryterium pierwiastkowe Cauchy'ego, kryterium Raabego. Zależność sumy szeregu od kolejności wyrazów. Szeregi naprzemienne -- kryterium Leibniza. Szeregi bezwzględnie zbieżne, zbieżność bezwarunkowa szeregu bezwzględnie zbieżnego. Twierdzenie o zbieżności iloczynu Cauchy'ego dwóch szeregów. Przekształcenie Abela, kryteria Abela i Dirichleta. (5 wykładów)
Ciąg funkcyjny i szereg funkcyjny. Zbieżność punktowa i zbieżność jednostajna ciągu i szeregu funkcyjnego. Jednostajny warunek Cauchy'ego, kryterium Weierstrassa jednostajnej zbieżności szeregu funkcyjnego. Twierdzenie o ciągłości granicy jednostajnie zbieżnego ciągu funkcji ciągłych, twierdzenie Dini'ego o
jednostajnej zbieżności ciągu funkcji monotonicznych, różniczkowanie i całkowanie ciągów i szeregów, twierdzenie Weierstrassa o jednostajnym przybliżaniu funkcji ciągłych wielomianami (np. wielomiany Bernsteina). (5--6 wykładów)
Szereg potęgowy, promień zbieżności i przedział zbieżności. Zbieżność jednostajna i bezwzględna szeregu potęgowego. Twierdzenie Abela o ciągłości szeregu potęgowego w końcu przedziału. Rozwinięcia funkcji elementarnych. (3--4 wykłady)
Szereg Fouriera. Ortogonalność. Zbieżność punktowa dla funkcji klasy C^1. Jądro Dirichleta i jądro Fejera. Zbieżność jednostajna w sensie Cesaro szeregu Fouriera funkcji ciągłej. Twierdzenie Weierstrassa o jednostajnym przybliżaniu funkcji ciągłych okresowych wielomianami trygonometrycznymi, rozwinięcia niektórych funkcji. Sumowanie konkretnych szeregów liczbowych. (4--5 wykładów)
Uwagi o funkcjach wielu zmiennych np.ciągłość. Całki z parametrem, całkowanie i różniczkowanie całek z
parametrem. Gamma--funkcja Eulera, wzory Wallisa i Stirlinga. Przykładowe zastosowania rachunku całkowego np. obliczanie pól i objętości brył obrotowych. (10 wykładów)