Algebra dla MSEM II 1000-112ADM2

Wstęp do matematyki:
Relacje równoważności. Klasy abstrakcji, zasada abstrakcji, zbiór ilorazowy. Podział zbioru, relacja równoważności wyznaczona przez podział. Wzajemna odpowiedniość pomiędzy relacjami równoważności a podziałami.

Relacja porządku częściowego i liniowego, elementy maksymalne i największe.

Porównywanie mocy zbiorów. Zbiory przeliczalne, nieprzeliczalne. Przeliczalność sumy i iloczynu kartezjańskiego zbiorów przeliczalnych. Nieprzeliczalność zbioru liczb rzeczywistych. Twierdzenie Cantora.

Algebra liniowa – kontynuacja:
Podprzestrzenie afiniczne przestrzeni liniowej. Kombinacje afiniczne, bazy punktowe. Współrzędne w bazie punktowej. Układy bazowe (punkt i baza przestrzeni stycznej), parametryzacje. Przekształcenia afiniczne, odpowiadające im przekształcenia liniowe. Izomorfizmy afiniczne.

Formy dwuliniowe, formy symetryczne. Macierz formy dwuliniowej w bazie.

Iloczyny skalarne. Nierówność Schwarza. Przestrzenie euklidesowe liniowe. Dopełnienie prostopadłe podprzestrzeni. Rzuty i symetrie prostopadłe. Bazy ortogonalne i ortonormalne. Ortogonalizacja Grama-Schmidta. Kryterium Sylvestera dodatniej określoności. Macierz Grama i jej własności. Przekształcenia przestrzeni euklidesowych zachowujące iloczyn skalarny. Izomorfizmy przestrzeni euklidesowych. Macierze ortogonalne. Izometrie. Przekształcenia samosprzężone. Diagonalizacja macierzy symetrycznych za pomocą macierzy ortogonalnych.

Przestrzenie euklidesowe afiniczne. Odległość punktów w przestrzeniach euklidesowych, odległość punktu od podprzestrzeni. Miary w przestrzeniach euklidesowych. Objętości równoległościanów i sympleksów. Kąty. Orientacja. Iloczyn wektorowy.

Formy kwadratowe i metody ich diagonalizacji. Twierdzenie Sylvestera o bezwładności.

Teoria grup i pierścieni:
Grupa, grupa abelowa, podgrupa. Grupy permutacji, grupy liniowe, grupy przekształceń. Grupa multiplikatywna i grupa addytywna ciała. Grupa cykliczna, rząd elementu. Rzędy elementów grupy permutacji, rozkład permutacji na cykle.

Warstwy grupy względem podgrupy, indeks podgrupy. Twierdzenie Lagrange’a i zastosowania: każda grupa rzędu pierwszego jest cykliczna. Małe twierdzenie Fermata i twierdzenie Eulera. Homomorfizmy grup, jądro homomorfizmu, dzielnik normalny, grupa ilorazowa. Twierdzenie o homomorfizmie.

Działanie grupy na zbiorze. Twierdzenie Cayleya. Orbita działania, stabilizator elementu (moc orbity = indeks stabilizatora).

Pierścienie przemienne z jedynką. Homomorfizmy. Jednoznaczność rozkładu na czynniki (pierścienie euklidesowe, dziedziny ideałów głównych, dziedziny z jednoznacznym rozkładem). Ideał, pierścień ilorazowy. Twierdzenie o homomorfizmie.