Wstęp do matematyki 1000-111bWMA
1. Rachunek zdań, spójniki logiczne, wartości logiczne, tabele wartościowań, tautologie.
Znaczenie symboli kwantyfikatorów.
Przykłady rozumowań matematycznych (dowód wprost, nie wprost, kontrapozycja, przez przypadki). Budowanie i redagowanie dowodów.
2. Istota dowodu matematycznego. Aksjomaty i reguły wnioskowania.
Należenie, ekstensjonalność, zbiór pusty. Inkluzja, podzbiór, wzmianka o zbiorze potęgowym. Sposoby definiowania zbiorów: przez wyliczenie elementów, przez wyróżnianie.
Suma, przecięcie, różnica dwóch zbiorów, dopełnienie zbioru i przestrzeń.
Wzmianka o sumach i przecięciach dowolnych rodzin zbiorów. Dowodzenie równości zbiorów.
3. Liczby naturalne, zasada minimum.
Zasada indukcji matematycznej.
Zbiory skończone, kombinatoryka skończona, zasada szufladkowa.
4. Wzór dwumianowy, przykłady metod zliczania, zasada włączeń i wyłączeń.
Ciągi, definiowanie ciągów wzorem ogólnym i rekurencyjnie.
Ciągi zbiorów, suma i przecięcie ciągu zbiorów.
5. Para uporządkowana, iloczyn kartezjański, podzbiory iloczynu kartezjańskiego.
Relacja jako podzbiór iloczynu kartezjańskiego, złożenie relacji, relacja odwrotna, obcięcie relacji.
Funkcja ze zbioru A w zbiór B (intuicja przyporządkowania, funkcja jako relacja). Dziedzina, przeciwdziedzina, zbiór wartości. Operacje na funkcjach.
6. Funkcje różnowartościowe i na, bijekcje. Funkcja odwrotna.
Kombinatoryka skończona z użyciem pojęcia funkcji. Permutacje.
Przykłady bijekcji pomiędzy zbiorami nieskończonymi, konstruowanie bijekcji.
Wzmianka o definicji równoliczności, nieistnienie bijekcji pomiędzy zbiorem liczb naturalnych a rzeczywistych.
7. Obrazy i przeciwobrazy zbiorów względem funkcji.
Własności obrazów i przeciwobrazów, związki z działaniami na zbiorach.
Koordynatorzy przedmiotu
W cyklu 2025Z: | W cyklu 2026Z: |
Rodzaj przedmiotu
Efekty uczenia się
Student ukończywszy kurs:
- zna znaczenie spójników logicznych. Rozumie znaczenie implikacji i równoważności w rozumowaniach matematycznych (np. w rozwiązywaniu równań i nierówności) wraz z konsekwencjami pojawienia się w rozumowaniu implikacji w jedną stronę.
- zna znaczenie symboli kwantyfikatorów. Poprawnie interpretuje wyrażenia zawierające jeden lub więcej kwantyfikatorów w zależności od ich kolejności.
Potrafi używać zapisu formalnego (symbole logiczne, kwantyfikatory) do wyrażania pojęć matematycznych (np. istnieje najmniejsza liczba naturalna, ciąg jest monotoniczny od pewnego miejsca).
- rozumie, a w prostych przypadkach potrafi poprawnie zastosować, podstawowe schematy rozumowań i dowodów. Rozumie, jaką rolę w matematyce pełni oparte na aksjomatach rozumowanie dedukcyjne.
- zna pojęcia pierwotne teorii zbiorów (zbiór, element, należenie). Rozumie pojęcie inkluzji (zawierania) pomiędzy zbiorami. Zna podstawowe schematy określania zbioru. Rozumie znaczenie symbolu P(X) dla zbioru potęgowego zbioru X, zna liczbę i potrafi wypisać podzbiory danego zbioru skończonego.
- potrafi wykonywać skończone działania na zbiorach, w szczególności w odniesieniu do podzbiorów R i R2. Potrafi wykazać równość dwóch zbiorów zarówno w konkretnym przykładzie, jak i udowodnić proste prawo rachunku zbiorów.
- potrafi precyzyjnie sformułować zasadę indukcji matematycznej (w różnych formach), rozumie związek z zasadą minimum. Potrafi poprawnie przeprowadzić dowody indukcyjne w zagadnieniach algebraicznych i kombinatorycznych.
- zna wzory wyrażające liczbę podzbiorów zbioru n-elementowego oraz liczbę funkcji ze zbioru k-elementowego w zbiór n-elementowy. Potrafi stosować je w zagadnieniach wymagających zastosowania dodatkowych metod zliczania
(np. zasada włączeń i wyłączeń). Zna zasadę szufladkową Dirichleta i potrafi ją stosować w prostych dowodach.
- rozumie różnice między wzorem ogólnym a wzorem rekurencyjnym ciągu liczbowego,
- potrafi znaleźć sumę i część wspólną nieskończonego ciągu zbiorów (bez działań wielokrotnych).
- zna podstawowe własności pary uporządkowanej (bez formalnej definicji np. Kuratowskiego) oraz pojęcie iloczynu kartezjańskiego dwóch zbiorów. Potrafi poprawnie wypisać wszystkie podzbiory podzbioru iloczynu kartezjańskiego dwóch zbiorów.
- rozumie formalizację pojęć relacji i funkcji jako zbiorów par uporządkowanych.
Potrafi zbadać, czy funkcja jest różnowartościowa i czy jest na dany zbiór. Zna pojęcia dziedziny, przeciwdziedziny i zbioru wartości funkcji, złożenia funkcji i funkcji odwrotnej. Potrafi wyznaczyć funkcję odwrotną (o ile taka istnieje),
szczególnie pomiędzy (podzbiorami) R lub R2.
- zna definicje i potrafi wyznaczać obrazy i przeciwobrazy zbiorów względem funkcji, szczególnie pomiędzy podzbiorami prostej rzeczywistej i płaszczyzny.
Zna związki operacji obrazów i przeciwobrazów z działaniami na zbiorach.
Literatura
Literatura
Wybrane fragmenty skryptów i podręczników:
1. I. Hewitt, Introduction to University Mathematics, https://courses.maths.ox.ac.uk/pluginfile.php/104615/mod_resource/content/38/Introduction%20to%20University%20Mathematics.pdf, University of Oxford.
2. L. Newelski, Wstęp do matematyki, https://www.math.uni.wroc.pl/~newelski/dydaktyka/wdm-A/skrypt3/skrypt/skrypt.html, Uniwersytet Wrocławski.
3. K.A. Ross, C.R.B. Wright, Matematyka dyskretna, PWN, Warszawa 1996.
4. J. Kraszewski, Wstęp do matematyki, WNT, Warszawa 2015.
5. W. Guzicki, P. Zakrzewski, Wykłady ze wstępu do matematyki. Wprowadzenie do teorii mnogości, PWN, Warszawa 2005.
Uwagi
|
W cyklu 2025Z:
Wykład Równoległe wykłady będą bardzo zbliżone pod względem treści, ale mogą różnić się formą prezentacji i kolejnością omówienia niektórych tematów. Dodatkowo prowadzony będzie kurs na wydziałowym Moodle’u, gdzie będą się pojawiać niektóre materiały związane z wykładami. Będzie tam też funkcjonować forum z pytaniami i odpowiedziami. Studenci mają obowiązek dołączyć do tego kursu. Na kursie na Moodle’u po wybranych pięciu wykładach, będzie się pojawiać test obejmujący dowolne części materiału omówionego dotychczas i na jednym, i na drugim z równoległych wykładów. Test będzie otwarty przez tydzień, a czas wyznaczony na jego wypełnienie od momentu rozpoczęcia to 24h. Ćwiczenia i prace domowe Każdy prowadzący ćwiczenia ma do przyznania punkty za ćwiczenia, wliczające się w sumę punktów, na której podstawie wystawiona będzie końcowa ocena (patrz niżej). Prowadzący ćwiczenia będą zadawać prace domowe podzielone na serie, w których sumarycznie znajdzie się 18 zadań (6 serii po 3 zadania). Oddanie rozwiązania następuje poprzez wgranie odpowiednich plików przez serwis Moodle’a w terminie wyznaczonym przez prowadzącego. Nad zadaniami można myśleć w maksymalnie czteroosobowych zespołach, ale każdy student w pełni samodzielnie redaguje przesyłane rozwiązanie. Student ma prawo oddać swoje samodzielnie spisane rozwiązanie tylko wtedy, jeśli całkowicie je rozumie. Studenci, którzy zdecydowali się myśleć w zespołach, podają skład zespołu w swojej pracy domowej. Nie zwalnia to z obowiązku jednoosobowego i samodzielnego spisania rozwiązania przez każdego ze studentów. Zachęcamy do oddawania prac domowych zredagowanych w LateXu. Studenci, którzy w ten sposób oddadzą większość prac domowych, na koniec semestru otrzymają dodatkowy 1 punkt. W kursie na Moodle’u pojawią się materiały do samodzielnej nauki używania LateXa. W przypadku wątpliwości, czy przesłany plik .pdf został zredagowany w LaTeXu, sprawdzający ma prawo zażądać od studenta przesłania pliku źródłowego .tex. Oddane prace będą podlegać automatycznej kontroli antyplagiatowej. W przypadku stwierdzenia rażącej niesamodzielności pracy, punkty zostaną wyzerowane, a wcześniejsze i późniejsze prace domowe danego studenta ręcznie zweryfikowane pod tym kątem. Zastrzegamy sobie prawo do wyzerowania punktów za wszystkie prace domowe. Prace będą sprawdzać graderzy (wyznaczeni studenci wyższych lat), korzystając z serwisu Moodle, którzy każdą pracę ocenią i każde rozwiązanie opatrzą komentarzem. Graderzy też będą elementem dodatkowej kontroli antyplagiatowej. Prowadzący grupę ćwiczeniową w razie wątpliwości zgłoszonych przez gradera może zweryfikować, czy student rozumie swoje rozwiązanie poprzez indywidualną rozmowę ze studentem i od tego uzależnić przyznaną liczbę punktów. Konsultacje Kolokwia pierwsze kolokwium 4.12 o godz. 17:00, złożone z 3 zadań pierwsze kolokwium 36 Kolokwium poprawkowe w drugim terminie |
W cyklu 2026Z:
Wykład Odbywa się w co drugi piątek o 8:30 równolegle w dwóch grupach. Każdy student może wybrać wykład, na który przychodzi, niezależnie od grupy, do której jest zapisany. Równoległe wykłady będą bardzo zbliżone pod względem treści, ale mogą różnić się formą prezentacji i kolejnością omówienia niektórych tematów. Dodatkowo prowadzony będzie kurs na wydziałowym Moodle’u, gdzie będą się pojawiać niektóre materiały związane z wykładami. Będzie tam też funkcjonować forum z pytaniami i odpowiedziami. Studenci mają obowiązek dołączyć do tego kursu. Na kursie na Moodle’u po wybranych pięciu wykładach, będzie się pojawiać test obejmujący dowolne części materiału omówionego dotychczas i na jednym, i na drugim z równoległych wykładów. Test będzie otwarty przez tydzień, a czas wyznaczony na jego wypełnienie od momentu rozpoczęcia to 24h. Ćwiczenia i prace domowe Obecność na ćwiczeniach jest obowiązkowa. Szczegółowe zasady w sprawie dopuszczalnej liczby nieobecności ustalają prowadzący ćwiczenia i w przypadku nadmiernej liczby nieobecności prowadzący ćwiczenia ma prawo zadecydować o utracie prawa do zaliczania przedmiotu przez studenta w pierwszym lub w obu terminach. Każdy prowadzący ćwiczenia ma do przyznania punkty za ćwiczenia, wliczające się w sumę punktów, na której podstawie wystawiona będzie końcowa ocena (patrz niżej). Prowadzący ćwiczenia będą zadawać prace domowe podzielone na serie, w których sumarycznie znajdzie się 18 zadań (6 serii po 3 zadania). Oddanie rozwiązania następuje poprzez wgranie odpowiednich plików przez serwis Moodle’a w terminie wyznaczonym przez prowadzącego. Zachęcamy do oddawania prac domowych zredagowanych w LateXu. Studenci, którzy w ten sposób oddadzą większość prac domowych, na koniec semestru otrzymają dodatkowy 1 punkt. W kursie na Moodle’u pojawią się materiały do samodzielnej nauki używania LateXa. Aby uznać, że dana seria pracy domowej została oddana w LateXu poza plikiem .pdf niezbędne jest wgranie pliku .tex. Prace będą sprawdzać graderzy (wyznaczeni studenci wyższych lat), korzystając z serwisu Moodle, którzy każdą pracę ocenią i każde rozwiązanie opatrzą komentarzem i ocenią w skali punktowej (1p za serię). Pracę domową można rozwiązywać i spisywać jedynie samodzielnie i bez jakiejkolwiek pomocy sztucznej inteligencji. Dozwolone jest użycie sztucznej inteligencji jedynie do przepisania swojej pracy domowej do LateXa. Rozmowy o redagowaniu zadań Dodatkowa seria pracy domowej (4 zadania) będzie służyć przeprowadzeniu indywidualnych rozmów dotyczących redagowania rozwiązań. Po rozwiązaniu i indywidualnym spisaniu swoich rozwiązań będzie trzeba umówić się na rozmowę z z wykładowcą, która ma na celu porozmawianie o tym, jak te rozwiązania jednego, kilku lub wszystkich zadań z tej pracy domowej są zredagowane i co można ewentualnie sformułować lepiej i jak to zrobić. Rozmowa potrwa ok. 15 minut. Prowadzący będzie mógł poprosić o przesłanie poprawionej wersji redakcji zadania. Wynik rozmowy to 0 lub maksymalna liczba punktów. Warunkiem do zdobycia maksymalnej liczby punktów jest samodzielne spisanie swoich rozwiązań i odbycie rozmowy (oraz przesłanie poprawionej wersji jeśli prowadzący o to poprosi). Nie jest nim pełna poprawność przedstawionych rozwiązań. Konsultacje Każdy prowadzący ćwiczenia prowadzi konsultacje dla studentów swojej grupy w ustalonym terminie raz na tydzień lub po umówieniu się ze studentami mailowo. Konsultacje mogą odbywać się on-line. Kolokwia Odbędą się dwa kolokwia: pierwsze kolokwium 10.12 o godz. 14:00, złożone z 3 zadań Przedmiot kończy się zaliczeniem na ocenę, która będzie wystawiona na podstawie sumy punktów: pierwsze kolokwium (3x10) 30 Kolokwium poprawkowe w drugim terminie W terminie poprawkowym zostanie przeprowadzone kolokwium poprawkowe składające się z dwóch części po 3 zadania oddzielonych przerwą, odpowiadającym dwóm kolokwiom. Zdający mogą napisać albo jedną z nich i wtedy wynik odpowiedniego kolokwium jest zastępowany, albo obie i wtedy ocena wystawiana jest jedynie na podstawie wyniku z kolokwium poprawkowego. Do kolokwium poprawkowego mogą przystąpić również osoby, które otrzymały pozytywną ocenę w pierwszym terminie. |