Geometria z algebrą liniową 1000-211bGAL
1. Grupy. Ciała. Liczby zespolone, postać trygonometryczna, wzór de'Moivre'a, pierwiastki z jedności, pierwiastki z liczby zespolonej.
2. Wielomiany, zasadnicze tw. algebry (bez dowodu).
3. Macierze o współczynnikach z ciała. Działania na macierzach.
4. Przestrzenie liniowe nad ciałem, podprzestrzeń liniowa, liniowa niezależność, baza, wymiar. Przykłady baz. Część wspólna, suma, suma prosta podprzestrzeni.
5. Obraz, jądro i rząd macierzy. Macierze odwracalne.
6. Układy równań liniowych. Twierdzenie Kroneckera-Capellego. Opis zbioru rozwiązań. Eliminacja Gaussa.
7. Wyznaczniki i ich własności. Wzory Cramera.
8. Przekształcenia liniowe i funkcjonały. Macierz przekształcenia liniowego. Rząd, obraz i jądro przekształcenia liniowego oraz macierzy. Izomorfizm przestrzeni liniowych.
9. Przestrzeń sprzężona, bazy sprzężone, macierz zmiany bazy, związek z przekształceniami liniowymi.
10. Podobieństwo macierzy. Wartość własna, wektor własny, widmo macierzy/przekształcenia liniowego. Wielomian charakterystyczny. Diagonalizacja przekształcenia liniowego/macierzy. Informacja o tw. Jordana.
11. Przestrzenie euklidesowe/unitarne. Iloczyn skalarny, norma euklidesowa, pojęcie kąta. Baza ortogonalna/ortonormalna, tożsamość Parsevala. Ortogonalizacja Grama-Schmidta. Dopełnienie ortogonalne i rozkład ortogonalny przestrzeni, rzut ortogonalny. Izometrie, macierze ortogonalne/unitarne.
12. Formy hermitowskie i symetryczne. Przystawanie macierzy. Diagonalizacja macierzy symetrycznych/hermitowskich. Kryterium Sylvestera.
Rodzaj przedmiotu
Tryb prowadzenia
Koordynatorzy przedmiotu
Efekty kształcenia
Wiedza:
* Student ma opanowaną w zaawansowanym stopniu - podstawową wiedzę ogólną z zakresu analizy matematycznej, algebry, matematyki dyskretnej (elementy logiki i teorii mnogości, kombinatoryki i teorii grafów), metod probabilistycznych i statystyki (ze szczególnym uwzględnieniem metod dyskretnych) (K_W01).
W szczególności:
- Zna pojęcie i własności ciała liczbowego, w szczególności ciała liczb rzeczywistych i zespolonych.
- Wie co to jest macierz i umie wykonywać podstawowe operacje na macierzach liczbowych.
- Zna pojęcia przestrzeni liniowej, liniowej niezależności wektorów, bazy i wymiaru przestrzeni liniowej. Potrafi wskazać przykłady przestrzeni liniowych i ich baz.
- Rozumie pojęcia funkcjonału liniowego, przestrzeni i bazy sprzężonej.
- Wie co to jest przekształcenie liniowe i macierz przekształcenia liniowego. Rozumie pojęcie izomorfizmu przestrzeni liniowych.
- Zna i rozumie pojęcie wartości własnej.
- Zna pojęcia iloczynu skalarnego, ortogonalności wektorów i przestrzeni euklidesowej, oraz związek rzutu ortogonalnego z optymalną aproksymacją.
- Rozumie formy hermitowskie i symetryczne.
Umiejętności:
* Student potrafi wskazać obraz, jądro i obliczyć rząd macierzy oraz użyć tych pojęć do przedstawienia rozwiązania układu równań liniowych.(K_W01, K_U01)
* Student umie rozwiązać prostokątny układ równań liniowych stosując algorytm eliminacji Gaussa.
* Student umie wyznaczać wartości i wektory własne macierzy. (K_U01, K_W01)
* Student potrafi posługiwać się pojęciami i twierdzeniami matematycznymi algebry liniowej zarówno na poziomie abstrakcyjnym jak i w odniesieniu do konkretnych
przykładów.
* Student potrafi samodzielnie planować i realizować własne uczenie się przez całe życie (K_U09).
Kompetencje społeczne:
* Student rozumie znaczenie struktur i metod algebry liniowej jako fundamentalnego narzędzia służącego konstrukcji i analizie złożonych modeli matematycznych, w
tym tych opisujących świat rzeczywisty.
* Student jest gotów do uznawania znaczenia wiedzy w rozwiązywaniu problemów poznawczych i praktycznych oraz wyszukiwania informacji w literaturze oraz zasięgania opinii ekspertów (K_K03).
Kryteria oceniania
Aby zaliczyć przedmiot należy uzyskać odpowiednią liczbę punktów za zadania domowe, kartkówki, kolokwia i ćwiczenia i oraz egzamin.
Egzamin w 1. i 2. terminie ma formę pisemną.
Aby przystąpić do egzaminu w terminie zerowym należy uzyskać odpowiednią liczbę punktów za zadania domowe, kartkówki, kolokwia i ćwiczenia. Egzamin z terminie zerowym ma formę ustną.
Szczegóły dotyczące punktacji znajdują się w opisie bieżącego cyklu przedmiotu.
Literatura
1. A. Białynick-Birula, Algebra liniowa z geometrią, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Biblioteka Matematyczna t.48, Warszawa 1979.
2. Aleksiej I. Kostrikin, Wstęp do Algebry. Część 1 – Podstawy algebry , Wydawnictwo Naukowe PWN, 2004-2012.
3. Aleksiej I. Kostrikin, Wstęp do algebry. Część 2 – Algebra liniowa , Wydawnictwo Naukowe PWN, 2004-2013
4. Zbiór zadań z algebry , pod red. A. I. Kostrikina, wydanie drugie zmienione, Wydawnictwo Naukowe PWN, 2005-2013
5. T. Koźniewski, Wykłady z algebry liniowej I i II , Uniwersytet Warszawski, 2004, 2006
Więcej informacji
Więcej informacji o poziomie przedmiotu, roku studiów (i/lub semestrze) w którym się odbywa, o rodzaju i liczbie godzin zajęć - szukaj w planach studiów odpowiednich programów. Ten przedmiot jest związany z programami:
Dodatkowe informacje (np. o kalendarzu rejestracji, prowadzących zajęcia, lokalizacji i terminach zajęć) mogą być dostępne w serwisie USOSweb: