Aksjomatyczna teoria mnogości 1000-1S22ATM
Głównym celem seminarium będzie zaprezentowanie teorii mnogości jako teorii formalnej, stanowiącej z jednej strony aksjomatyczną podstawę całej matematyki, a z drugiej strony przedmiot badań logicznych dotyczących niesprzeczności jej fragmentów i rozszerzeń. Zależy nam zarówno na zrozumieniu roli standardowych aksjomatów w rozumowaniach matematycznych, jak i na przyjrzeniu się konsekwencjom dodatkowych aksjomatów.
Wątkiem pobocznym będą twierdzenia i dowody z kombinatoryki nieskończonej stanowiące uzupełnienie wykładu fakultatywnego Teoria Mnogości.
Program minimum zakłada omówienie następujących zagadnień:
• Aksjomaty teorii mnogości Zermelo-Fraenkla ZFC, zależności między nimi, modele dla (fragmentów) teorii mnogości, absolutność, tw. Goedla dla teorii ZFC i pokrewnych.
• Hierarchie kumulatywne, zasada refleksji, klasa zbiorów ufundowanych WF, niezależność aksjomatu ufundowania od pozostałych aksjomatów.
• Uniwersum konstruowalne L, aksjomat konstruowalności V=L, relatywna niesprzeczność Aksjomatu Wyboru AC i Uogólnionej Hipotezy Continuum GCH z ZF.
• Aksjomat wyboru AC i jego słabsze wersje, matematyka bez AC, modele permutacyjne, niezależność AC od teorii mnogości bez aksjomatu ufundowania, paradoks Banacha-Tarskiego.
• Wielkie liczby kardynalne, zależności między nimi, liczby mierzalne a elementarne włożenia, nieistnienie liczb mierzalnych w L.
• Bardziej zaawansowane elementy kombinatoryki nieskończonej, np. tw. Silvera, prosta i drzewo Suslina, zasada diamond i zasady pokrewne, ich prawdziwość w L i ich konsekwencje.
Ponadto przewidujemy omówienie niektórych z poniższych tematów, w zależności od czasu i zainteresowań uczestników:
• Konsekwencje V=L lub aksjomatów wielkoliczbowych dla deskryptywnej teorii mnogości.
• Dodatkowe aksjomaty w teorii mnogości (np. Hipoteza Continuum CH, Aksjomat Martina MA, Aksjomat Własności Pokryciowej CPA, Aksjomat Otwartego Kolorowania OCA, Aksjomat Determinacji Rzutowej PD) i przykłady ich konsekwencji w topologii, teorii miary i analizie rzeczywistej.
• Twierdzenie Shoenfielda o absolutności.
Kierunek podstawowy MISMaP
Rodzaj przedmiotu
monograficzne
Tryb prowadzenia
Założenia (opisowo)
Efekty kształcenia
Student po ukończeniu przedmiotu:
• Zna aksjomaty teorii mnogości Zermelo-Fraenkla ZFC i rozumie ich rolę przy przyjęciu tej teorii jako podstawy dla współczesnej matematyki.
• Rozumie rolę poszczególnych aksjomatów w tej teorii, w szczególności orientuje się w sile i możliwościach różnych podteorii (np. teorii mnogości bez aksjomatu wyboru lub aksjomatu ufundowania).
• Rozumie ogólną zasadę dowodów relatywnej niesprzeczności w odniesieniu do podteorii i rozszerzeń teorii mnogości, tzn. wie jakimi technikami można udowodnić, że do niesprzecznej teorii można dołączyć dodatkowy aksjomat z zachowaniem niesprzeczności.
• Zna dowód relatywnej niesprzeczności uogólnionej Hipotezy Continuum (GCH) i Aksjomatu Wyboru z pozostałymi aksjomatami teorii mnogości.
• Zna niektóre popularne dodatkowe aksjomaty teorii mnogości wraz z ich przykładowymi konsekwencjami.
Więcej informacji
Więcej informacji o poziomie przedmiotu, roku studiów (i/lub semestrze) w którym się odbywa, o rodzaju i liczbie godzin zajęć - szukaj w planach studiów odpowiednich programów. Ten przedmiot jest związany z programami:
Dodatkowe informacje (np. o kalendarzu rejestracji, prowadzących zajęcia, lokalizacji i terminach zajęć) mogą być dostępne w serwisie USOSweb: