Równania przepływu cieczy nienewtonowskich 1000-1M22RCN
Celem wykładu jest zapoznanie się z analizą matematyczną układów nieliniowych równań różniczkowych cząstkowych modelujący przepływ cieczy nienewtonowskiej. Zapoznamy się zatem z metodami matematycznymi w mechanice cieczy nienewtonowskich. Jako przykłady motywacji
do rozważania takich równań możemy wymienić przepływy krwi, ruch lodowców, dynamikę płaszcza ziemskiego, zachowanie substancji typu slime, Silly Putty, ruchome piaski.
Wykład rozpoczniemy od przedstawienia zarysu modeli i zastosowań. Następnie, zajmiemy się ich matematyczną analizą. Skoncentrujemy się tu na istnieniu rozwiązań, ale podejmiemy też temat jednoznaczności i regularności.
Przedstawimy rozwój teorii począwszy od lat 60-tych ubiegłego wieku a skończywszy na rezultatach z ostatnich lat. Przegląd ten pozwoli nam zapoznać się z technikami i metodami użytecznymi w badaniu nieliniowych równań różniczkowych cząstkowych.
Wskazane jest wcześniejsze przejście wykładu z teorii równań różniczkowych cząstkowych i analizy funkcjonalnej.
W szczególności zechcemy poruszyć następujące zagadnienia (w zależności od dostępnego czasu):
1. Wprowadzenie do równań płynów nienewtonowskich. Wyprowadzenie, motywacje.
2. Istnienie słabych rozwiązań. Metoda operatorów monotonicznych. Metoda Galerkina, twierdzenia o punkcie stałym. Oszacowana energetyczne. Przestrzenie Bochnera. Całkowanie przez części w przestrzeniach Bochnera. Nierówność Korna. Twierdzenie Aubina-Lionsa. Słaba ciągowa stabilność.
3. Definicja operatora Stokes'a i jego własności. Metoda wyższych oszacowań
energetycznych.
4. Definicja jednostajnej całkowalności. Twierdzenie Vitali'ego.
5. Jednoznaczność rozwiązań. Regularność rozwiązań.
6. Funkcja maksymalna i twierdzenie Hardy-Littlewooda. Metoda trankacji Lipschitzowskich.
7. Pojęcie rozwiązań o wartościach w miarach. Definicja miar Younga. Redukcji miar Younga do delt Diraca.
8. Niestandardowe warunki wzrostu. Przestrzenie Orlicza, przestrzenie Musielaka-Orlicza. Metody monotoniczności dla przestrzeni nierefleksywnych.
Rodzaj przedmiotu
Efekty kształcenia
Znajomość wybranych metod analizy dla nielinowych równań różniczkowych cząstkowych mechaniki cieczy
Kryteria oceniania
Wykład zakończy się egzaminem ustnym. Student prezentuje wybrane zagadnienie/zagadnienia
(np. fragment artykułu naukowego lub materiał, którego dotyczyła część wykładu).
Literatura
1. Malek J., Necas J., Rokyta, M., Ruzicka M., Weak and Measure-valued Solutions to Evolutionary PDEs, Chapman & Hall 1996
2. Ladyzhenskaya, O.A. The boundary value problems of mathematical physics. Springer-Verlag, New York, 1985.
3. Frehse, J., Malek, J., Steinhauer, M. On analysis of steady flows of fluids with shear-dependent viscosity based on the Lipschitz truncation method. SIAM J. Math. Anal. 34 (2003), no. 5, 1064-1083
4. Chlebicka I., Gwiazda P., Świerczewska-Gwiazda A., Wróblewska-Kamińska A., Partial Differential Equations in Anisotropic Musielak-Orlicz Spaces, Springer, 2021
Więcej informacji
Więcej informacji o poziomie przedmiotu, roku studiów (i/lub semestrze) w którym się odbywa, o rodzaju i liczbie godzin zajęć - szukaj w planach studiów odpowiednich programów. Ten przedmiot jest związany z programami:
Dodatkowe informacje (np. o kalendarzu rejestracji, prowadzących zajęcia, lokalizacji i terminach zajęć) mogą być dostępne w serwisie USOSweb: