Przestrzenie Sobolewa między rozmaitościami Riemanna 1000-1M22PSRR
Różne zjawiska fizyczne lub biologiczne można modelować za pomocą funkcji, które są rozwiązaniami równań różniczkowych cząstkowych. W naturze obserwujemy osobliwości, jak na przykład w wirze, który formuje się gdy spuszczamy wodę ze zlewu, osobliwość występuje w środku wirowania w wyniku wysokich prędkości w tym punkcie. Aby poprawnie ustawić model, musimy rozważyć rozwiązania, które niekoniecznie są ciągłe, ale należą jedynie do przestrzeni Sobolewa. Wybór przestrzeni jest częścią modelu. W przypadku wielu problemów, które pojawiają się naturalnie w różnych dziedzinach, takich jak fizyka czy geometria, przestrzenie Sobolewa muszą być ograniczone do przekształceń, które mają wartości w rozmaitościach. Wśród wielu przykładów najprostszymi ilustracjami wydają się być geodezyjne - najkrótsza ścieżka łącząca dwa punkty na danej rozmaitości.
Przestrzenie Sobolewa między rozmaitościami riemannowskimi nie są przestrzeniami liniowymi. Z topologicznego punktu widzenia przestrzenie Sobolewa między rozmaitościami są dużo bogatsze od klasycznych przestrzeni Sobolewa, w szczególności mają bogatą strukturę klas homotopii. Podstawowym narzędziem równań różniczkowych cząstkowych jest gęstość gładkich funkcji w przestrzeni Sobolewa, ten fakt jednak nie pozostaje prawdziwy dla przekształceń Sobolewa między rozmaitościami. W czasie zajęć prześledzimy podstawowe zagadnienia, podobieństwa i różnice z klasycznymi przestrzeniami Sobolewa: teorię aproksymacji i teorię homotopi w ramach przestrzeni sobolewa, a takżę teorię śladów i teorię podniesień w przestrzeniach Sobolewa.
Tempo i dokładny zakres wykładu zostaną dopasowane do możliwości uczestników. Ćwiczenia będą miały częściowo charakter seminaryjny i poświęcone będą m.in. pojęciom geometrycznym i narzędziom analitycznym odgrywającym rolę w tej dziedzinie.
Na wykładzie poruszone zostaną następujące zagadnienia:
- Definicja i podstawowe własności klasycznych przestrzeni Sobolewa.
- Definicja i motywacje przestrzeni Sobolewa między rozmaitościami. Związki z przekształceniami harmonicznymi i innymi modelami.
- Twierdzenia o przybliżaniu przekształceniami gładkimi przekstałceń Sobolewa, kontrprzykłady.
- Teoria homotopii w przestrzeniach Sobolewa.
- Twierdzenie Gagliardo o śladach w klasycznych przestrzeniach Sobolewa, kontrprzykłady i ogólnienia w teorii przestrzeni Sobolewa między rozmaitościami.
- Teoria podniesień w przestrzeniach Sobolewa.
- Związki podniesień ze śladami.
Rodzaj przedmiotu
Założenia (opisowo)
Kryteria oceniania
Egzamin ustny. Aby zostać dopuszczonym do egzaminu należy wygłosić referat na ćwiczeniach.
Literatura
Prace oryginalne:
1. Schoen, Richard; Uhlenbeck, Karen A regularity theory for harmonic maps. J. Differential Geometry 17 (1982), no. 2, 307–335.
2. Schoen, Richard; Uhlenbeck, Karen Boundary regularity and the Dirichlet problem for harmonic maps. J. Differential Geom. 18 (1983), no. 2, 253–268.
3. Hang, Fengbo; Lin, Fanghua Topology of Sobolev mappings. II. Acta Math. 191 (2003), no. 1, 55–107.
4. Bourgain, Jean; Brezis, Haïm; Mironescu, Petru Lifting, degree, and distributional Jacobian revisited. Comm. Pure Appl. Math. 58 (2005), no. 4, 529–551.
Więcej informacji
Więcej informacji o poziomie przedmiotu, roku studiów (i/lub semestrze) w którym się odbywa, o rodzaju i liczbie godzin zajęć - szukaj w planach studiów odpowiednich programów. Ten przedmiot jest związany z programami:
Dodatkowe informacje (np. o kalendarzu rejestracji, prowadzących zajęcia, lokalizacji i terminach zajęć) mogą być dostępne w serwisie USOSweb: