Niestandardowe modele arytmetyki 1000-1M22NMA
Arytmetyka Peano (PA) to kanoniczna teoria aksjomatyzująca własności zbioru liczb naturalnych z dodawaniem i mnożeniem. Z dokładnością do standardowego tłumaczenia między językiem arytmetyki a językiem teorii mnogości, PA można traktować jako "teorię skończonych obiektów matematycznych", tj. teorię mnogości Zermelo-Fraenkla z aksjomatem istnienia zbioru nieskończonego zastąpionym jego negacją.
Z podstawowych twierdzeń logiki matematycznej wynika, że PA ma modele niestandardowe, czyli nieizomorficzne z modelem zamierzonym. Wykład będzie wprowadzeniem w tematykę niestandardowych modeli arytmetyki. Omówimy zarówno klasyczne wyniki dotyczące struktury modeli niestandardowych, jak i (niekiedy zupełnie niedawne) zastosowania takich modeli w dowodzeniu twierdzeń orzekających o niedowodliwości pewnych zdań w określonych systemach aksjomatycznych.
W trakcie semestru omówimy następujące tematy:
1. PA i jej fragmenty. Związki między definiowalnością i obliczalnością. Podstawowe fakty na temat struktury modeli: typ porządkowy, przekroje, rozszerzenia końcowe.
2. Typy w arytmetyce. Modele rekurencyjnie nasycone, resplendencja. Modele punktowo definiowalne, separacje między fragmentami PA.
3. Słaby lemat Königa (WKL). Konstruowanie modeli za pomocą zarytmetyzowanego twierdzenia o pełności. Zbiory Scotta i systemy standardowe.
4. Zaawansowane wyniki na temat przekrojów i rozszerzeń końcowych. Twierdzenia Friedmana i Tanaki o samozanurzeniach. Twierdzenie MacDowella-Speckera o istnieniu elementarnych rozszerzeń końcowych.
5. Dowodzenie niedowodliwości za pomocą przekrojów: przekroje półregularne, tzw. metoda indykatorów, częściowa konserwatywność WKL nad arytmetyką pierwotnie rekurencyjną.
6. Wyniki współczesne: twierdzenie Pateya-Yokoyamy o częściowej konserwatywności twierdzenia Ramseya dla par nad arytmetyką pierwotnie rekurencyjną. Problem charakteryzacji arytmetycznych konsekwencji twierdzenia Ramseya dla par.
W zależności od czasu i zainteresowań uczestników, możemy też przerobić albo omówić dodatkowe tematy, takie jak twierdzenie Parisa-Harringtona, automorfizmy modeli arytmetyki i modele kardynałopodobne.
Rodzaj przedmiotu
Tryb prowadzenia
Założenia (opisowo)
Efekty kształcenia
Student:
1. zna definicję Arytmetyki Peano (PA) i rozumie jej rolę w podstawach matematyki.
2. rozumie pojęcie niestandardowego modelu arytmetyki i zna podstawowe fakty na temat struktury takich modeli.
3. zna klasyczne twierdzenia na temat rozszerzeń i podstruktur modeli niestandardowych.
4. zna przykłady zastosowań modeli niestandardowych do separowania teorii aksjomatycznych i dowodzenia twierdzeń o niedowodliwości.
Kryteria oceniania
Egzamin.
Literatura
1. Richard Kaye, Models of Peano Arithmetic, Oxford 1991.
2. Roman Kossak, James H. Schmerl, The Structure of Models of Peano Arithmetic, Oxford 2006.
3. Notatki Tin Lok Wonga do kursu "Model theory of arithmetic", https://blog.nus.edu.sg/matwong/teach/modelarith/
4. Wybrane artykuły badawcze.
Więcej informacji
Więcej informacji o poziomie przedmiotu, roku studiów (i/lub semestrze) w którym się odbywa, o rodzaju i liczbie godzin zajęć - szukaj w planach studiów odpowiednich programów. Ten przedmiot jest związany z programami:
Dodatkowe informacje (np. o kalendarzu rejestracji, prowadzących zajęcia, lokalizacji i terminach zajęć) mogą być dostępne w serwisie USOSweb: