Wybrane zagadnienia teorii mnogości małych podzbiorów przestrzeni polskich 1000-1M21TMPP
1. Elementy deskryptywnej teorii mnogości: przestrzenie polskie, zbiory borelowskie i analityczne, hiperprzestrzeń zbiorów zwartych, własność Baire’a, σ-ideał zbiorów pierwszej kategorii Baire’a i jego charakteryzacje.
2. Ideały na zbiorach przeliczalnych: charakteryzacja Talagranda ideałów z własnością Baire’a, charakteryzacja Mazura ideałów typu F_σ i Soleckiego P-ideałów analitycznych z pomocą podmiar.
3. σ-ideały na przestrzeniach polskich generowane przez zbiory domknięte: konstrukcja zbiorów typu G_δ spoza σ-ideału (systemy Hurewicza i twierdzenie Soleckiego), σ-ideały z własnością ,,1-1 lub stała” Saboka i Zapletala (każda funkcja borelowska ze zbioru borelowskiego spoza ideału w przestrzeń polską jest stała na zbiorze borelowskim spoza ideału lub różnowartościowa na zbiorze borelowskim spoza ideału).
4. σ-ideały zbiorów małych w sensie miary lub kategorii: zbiory uniwersalnie miary zero, zbiory silnie miary zero, zbiory zawsze pierwszej kategorii, zbiory uniwersalnie pierwszej kategorii, zbiory silnie pierwszej kategorii.
Rodzaj przedmiotu
Założenia (opisowo)
Efekty kształcenia
Student:
1. zna podstawy deskryptywnej teorii mnogości, w tym klasyczne przykłady przestrzeni polskich, definicje zbiorów borelowskich i analitycznych oraz zbiorów z własnością Baire'a i pierwszej kategorii,
2. umie się posługiwać znanymi charkteryzacjami ideałów na zbiorach przeliczalnych mających własność Baire’a lub typ F_σ, lub będących P-ideałami analitycznymi,
3. zna szczególne własności σ-ideałów generowanych przez domknięte podzbiory przestrzeni polskich,
4. potrafi wskazać przykłady zbiorów małych w sensie miary lub kategorii i opisać wzajemne związki pomiędzy różnymi klasami takich zbiorów.
Kryteria oceniania
Egzamin
Literatura
[1] A. S. Kechris, Classical descriptive set theory, Graduate Texts in Math. 156, Springer-Verlag (1995).
[2] S. Solecki, Covering analytic sets by families of closed sets, Journal of Symbolic Logic 59(3) (1994), 1022–1031.
[3] S. Solecki, Analytic ideals and their applications, Ann. Pure Appl. Logic 99 (1999), 51–72.
Więcej informacji
Więcej informacji o poziomie przedmiotu, roku studiów (i/lub semestrze) w którym się odbywa, o rodzaju i liczbie godzin zajęć - szukaj w planach studiów odpowiednich programów. Ten przedmiot jest związany z programami:
Dodatkowe informacje (np. o kalendarzu rejestracji, prowadzących zajęcia, lokalizacji i terminach zajęć) mogą być dostępne w serwisie USOSweb: