Rozwiązania miarowe 1000-1M21RM
Dla niektórych nieliniowych równań różniczkowych cząstkowych problem istnienia nawet słabych rozwiązań jest problemem otwartym. Wówczas alternatywą jest jeszcze słabsze pojęcie rozwiązania, a mianowicie rozwiązania miarowe. Wykazanie istnienia rozwiązań miarowych może też dzięki dodatkowym własnościom, jak np. monotoniczność operatora, czy spełnienie pewnych nierówności entropijnych, być krokiem pośrednim, który doprowadzi do dowodu istnienia rozwiązań w silniejszym sensie.
Podczas wykładu omówione zostaną następujące zagadnienia:
1. Definicja i istnienie miar Younga,
2. Problemy oscylacji i koncentracji ciągów aproksymacji,
3. Metoda relatywnych entropii i warunkowa jednoznaczność rozwiązań.
Ponadto omówionych zostanie wiele przykładów zagadnień, dla których istnienie rozwiązań miarowych jest ciekawym problemem.
Rodzaj przedmiotu
Efekty kształcenia
1. Student zna zarys aktualnej wiedzy matematycznej dotyczącej rozwiązań miarowych.
2. Student zna najważniejsze problemy otwarte i rozumie trudności związane z ich rozwiązaniem.
3. Student zna najważniejsze przykłady zagadnień posiadających rozwiązania miarowe.
Kryteria oceniania
Wykład zakończy się egzaminem ustnym. Student prezentuje wskazane zagadnienie (np. fragment artykułu naukowego).
Do egzaminu w terminie zerowym dopuszczeni są wszyscy studenci.
Literatura
1. J. M. Ball, A version of the fundamental theorem for Young measures, in PDEs and Continuum Models of Phase Transitions (Nice, 1988), Lecture Notes in Phys., Vol. 344 (Springer, 1989), pp. 207–215.
2. J. Malek, J. Necas, M. Rokyta, M. Ruzicka, Weak and Measure-Valued Solutions to Evolutionary PDEs (Chapman & Hall, 1996).
3. S. Muller, Variational models for microstructure and phase transitions, in Calculus of Variations and Geometric Evolution Problems (Cetraro, 1996) Lecture Notes in Math., Vol. 1713 (Springer, 1999), pp. 85–210.
4. O. Kreml, A. Świerczewska-Gwiazda, P. Gwiazda. Dissipative measure-valued solutions for general conservation laws, Annales de l'Institut Henri Poincare. Annales: Analyse Non Lineaire 37, 683-707. 2020.
Więcej informacji
Więcej informacji o poziomie przedmiotu, roku studiów (i/lub semestrze) w którym się odbywa, o rodzaju i liczbie godzin zajęć - szukaj w planach studiów odpowiednich programów. Ten przedmiot jest związany z programami:
Dodatkowe informacje (np. o kalendarzu rejestracji, prowadzących zajęcia, lokalizacji i terminach zajęć) mogą być dostępne w serwisie USOSweb: