Reprezentacje algebr dróg kołczanów 1000-1M21RAD
Kategorie abelowe. Reprezentacje kołczanów.
Wprowadzimy pojęcia obiektów projektywnych, iniektywnych i zdefiniujemy pierwsze i wyższe grupy rozszerzeń. Opiszemy moduły projektywne i iniektywne dla modułów nad algebrą dróg kołczanu i nauczymy się liczyć grupy rozszerzeń pomiędzy obiektami tych kategorii. Scharakteryzujemy bazowe algebry dziedziczne jako algebry dróg kołczanów bez relacji.
Auslander-Reiten.
Omówimy ciągi prawie rozszczepialne, przesunięcie i kołczan Auslandera-Reiten. Policzymy przykłady kołczanu AR dla modułów nad kołczanem. Podamy funktorialną interpretację ciągów prawie rozszczepialnych.
Teoria obiektów przechylających.
Zdefiniujemy pary torsyjne i obiekty przechylające w kategorii reprezentacji kołczanów. Opiszemy związek między tymi pojęciami, a dokładniej parę torsyją przypisaną obiektowi przechylającemu.
Twierdzenie Gabriela.
Zdefiniujemy formę kwadratową kołczanu i udowodnimy twierdzenie Gabriela klasyfikujące dziedziczne algebry skończonego typu reprezentacyjnego.
Rodzaj przedmiotu
Efekty kształcenia
Student rozumie
1. pojęcie kategorii abelowej,
2. definicje grup pierwszych i wyższych rozszerzeń oraz
produkt Yonedy pomiędzy tymi grupami,
3. zależność między modułami nad algebrą dróg kołczanu a reprezentacjami kołczanu,
4. klasyczną i funktorialną definicję ciągów prawie rozszczepialnych,
5. pojęcie pary torsyjnej i obiektu przechylającego,
6. ideę dowodu Tw Gabriela.
Student potrafi:
1. obliczyć wymiar algebry zadanej przez kołczan i relacje,
2. liczyć grupy rozszerzeń pomiędzy konkretnymi modułami,
3. wypisać rezolwentę projektywną i iniektywną danego modułu,
4. narysować kołczan Auslandera-Reiten algebry skończonego typu reprezentacyjnego.
Kryteria oceniania
Ocena końcowa na podstawie aktywności na ćwiczeniach i egzaminu pisemnego z częścią ustną w razie wątpliwej oceny.
Literatura
1. Ibrahim Assem, Andrzej Skowroński, Daniel Simson
"Elements of the Representation Theory of Associative Algebras"
2. Matej Bresar, "Introduction to noncommutative algebra"
3. Richard Pierce, "Associative Algebras"
4. Nicolae Popescu, "Abelian Categories with Applications to Rings and Modules"
Więcej informacji
Więcej informacji o poziomie przedmiotu, roku studiów (i/lub semestrze) w którym się odbywa, o rodzaju i liczbie godzin zajęć - szukaj w planach studiów odpowiednich programów. Ten przedmiot jest związany z programami:
Dodatkowe informacje (np. o kalendarzu rejestracji, prowadzących zajęcia, lokalizacji i terminach zajęć) mogą być dostępne w serwisie USOSweb: