Analiza wypukła 1000-1M21AWP
Zaczniemy od charakteryzacji funkcji i zbiorów wypukłych oraz zdefiniujemy podstawowe operacje na tych obiektach. Następnie omówimy ich topologiczne własności. W dalszej kolejności skupimy się na dualności między punktami i hiperpowierzchniami oraz wprowadzimy operacje wypukłego sprzężenia (transformata Fenchela) i~polarności. Badając wypukłe stożki zatrzymamy się też chwilę nad związkami z teorią norm. Dalej udowodnimy twierdzenie Carathéodory'ego o reprezentacji i zajmiemy się pojęciem punktów ekstremalnych. Następnie przejdziemy do różniczkowalności funkcji wypukłych, zdefiniujemy subgradient, omówimy transformatę Legendre'a i zbadamy jej związki z wypukłym sprzężeniem. Zbadamy kiedy gradient funkcji wypukłej definiuje homeomorfizm jej dziedziny z dziedziną sprzężenia. Być może uda się udowodnić też twierdzenie Alexandrowa o istnieniu drugiego wielomianu Taylora dla funkcji wypukłej w prawie każdym punkcie jej dziedziny. Na koniec, jeśli czas pozwoli, zajmiemy się tematem wypukłej minimalizacji z wypukłymi więzami oraz problem min-max dla
funkcji wypukło-wklęsłej. W szczególności udowodnimy twierdzenie Fenchela o dualności.
Na ćwiczeniach, poza rozwiązywaniem zadań ilustrujących i uzupełniających wykład, będziemy przyglądali się pewnemu uogólnieniu zbiorów wypukłych, a mianowicie zbiorami o dodatnim zasięgu (sets of positive reach).
Kierunek podstawowy MISMaP
Rodzaj przedmiotu
Tryb prowadzenia
Założenia (lista przedmiotów)
Założenia (opisowo)
Efekty kształcenia
* Znajomość podstawowych narzędzi i twierdzeń skończenie wymiarowej analizy wypukłej.
* Świadomość związków analizy wypukłej z rachunkiem wariacyjnym i zagadnieniami optymalizacyjnymi.
* Rozumienie powiązań między analizą wypukłą, geometrią wypukłą oraz teorią przestrzeni unormowanych.
* Znajomość niektórych zastosowań, np. do badania zbiorów o dodatnim zasięgu.
Kryteria oceniania
Zaliczenie ćwiczeń na podstawie zrobionych i zreferowanych na zajęciach zadań domowych.
Egzamin w formie ustnej przy czym lista pytań / zagadnień / zadań będzie podana z wyprzedzeniem (pod koniec semestru).
Literatura
Podstawowa:
* "Convex analysis" R. T. Rockafellar
* "Fundatnentals of Convex Analysis" J-B. Hiriart-Urruty, C. Lemarechal
Rozszerzona
* "Minkowski Geometry" A. C. Thompson
* "Lectures on Convex Geometry" D. Hug, W. Weil
* "Variational Analysis" R. T. Rockafellar, R. J-B. Wets
* "Convex Functions and their Applications: A Contemporary Approach" C. P. Niculescu, L-E. Persson
* "Curvature measures" H. Federer
* "User’s guide to viscosity solutions of second order partial differential equations" M. Crandall, H. Ishii, P. Lions
* "Uniqueness of critical points of the anisotropic isoperimetric problem for finite perimeter sets" A.D. Rosa, S. Kolasiński, M. Santilli
Więcej informacji
Więcej informacji o poziomie przedmiotu, roku studiów (i/lub semestrze) w którym się odbywa, o rodzaju i liczbie godzin zajęć - szukaj w planach studiów odpowiednich programów. Ten przedmiot jest związany z programami:
Dodatkowe informacje (np. o kalendarzu rejestracji, prowadzących zajęcia, lokalizacji i terminach zajęć) mogą być dostępne w serwisie USOSweb: