Algebry operatorów dające się widzieć II 1000-1M20AOW2
Grafowe C*-algebry okazały się niezwykle skuteczne w badaniu K-teorii algebr operatorowych. Obecnie
są przedmiotem intensywnych badań w dziedzinie nieprzemiennej topologii, ciesząc się dużą ilością
nowych wyników. Celem tego wykładu jest przedstawienie podstaw grafów zorientowanych (kołczanów)
tak aby nauczyć od początku i w systematyczny sposób teorii grafowych C*-algebr.
Wykład rozpoczyna się od wprowadzenia pojęcia algebry ścieżkowej grafu zorientowanego (kołczanu),
która jest zdefiniowana jako liniowa powłoka wszystkich skończonych ścieżek grafu z mnożeniem danym
przez składanie ścieżek. Zatem liczba skończonych ścieżek w grafie jest wymiarem jego algebry
ścieżkowej. Następnie, kluczowym krokiem jest wprowadzenie relacji Cuntza-Kriegera w algebrze
ścieżkowej rozszerzenego grafu - definiują one algebrę ścieżkową Leavitta tego grafu jako iloraz
algebry ścieżkowej rozszerzenia tego grafu przez ideał generowany przez relacje Cuntza-Kriegera.
Biorąc ciało liczb zespolonych za ciało podstawowe algebry ścieżkowej Leavitta grafu i definiując
inwolucję przy pomocy rozszerzenia tego grafu, otrzymujemy zespoloną *-algebrę. Teraz możemy
zdefiniować grafowe C*-algebry jako uniwersalne C*-algebry obwiednie algebr ścieżkowych Leavitta.
Kluczowe wyniki, które będą tu przedstawione, dotyczą reprezentacji na przestrzeni Hilberta i
struktury ideałów grafowych C*-algebr.
Wykład kończy się zastosowaniami w topologii nieprzemiennej. Po pierwsze, udowadniamy że, poprzez
wyposażenie grafów w morfizmy Leavitta, przypisanie grafowi grafowej C*-algebry staje się
kontrawariantnym funktorem do kategorii C*-algebr i *-homomorfizmów. Następnie pokazujemy kiedy ten
kontrawariantny funktor przekształca pushouty grafów w pullbacki grafowych C*-algebr. Wszystko to
jest ilustrowane mnóstwem naturalnych przykładów zakorzenionych w klasycznej topologii.
Rodzaj przedmiotu
Efekty kształcenia
Zdobycie praktycznej wiedzy na temat grafowych C*-algebr pozwalającej na rozpoczęcie badań
naukowych w tej dziedzinie matematyki. W zależności od poziomu zaangażowania, wykład ten może
prowadzić do pracy magisterskiej lub doktorskiej.
Kryteria oceniania
systematyczne uczestniczenie w zajęciach lub egzamin ustny
Literatura
1. Graph Algebras, Piotr M. Hajac, Mariusz Tobolski, arxiv 1912.05136.
2. Leavitt Path Algebras, Gene Abrams, Pere Ara, Mercedes Siles Molina.
3. Algebras and Representation Theory, Karin Erdmann, Thorsten Holm.
4. C*-algebras and Operator Theory, Gerard J. Murphy.
Więcej informacji
Więcej informacji o poziomie przedmiotu, roku studiów (i/lub semestrze) w którym się odbywa, o rodzaju i liczbie godzin zajęć - szukaj w planach studiów odpowiednich programów. Ten przedmiot jest związany z programami:
Dodatkowe informacje (np. o kalendarzu rejestracji, prowadzących zajęcia, lokalizacji i terminach zajęć) mogą być dostępne w serwisie USOSweb: